Espressione in N con quadrati

Messaggioda RedJohn » 31/01/2019, 14:41

Salve a tutti, ho un problema che la mia prof di matematica ha dato da risolvere alla classe(il problema è facoltativo, e ha detto che probabilmente non lo riusciremo a risolvere, peró ci aiuta a pensare fuori dagli schemi). Il problema è il seguente:
Hai due numeri naturali a e b, sai che:
$ (ab+1):(a^2+ b^2) = d $
Con $ din N $
Dimostrare che:
$ (a^2+ b^2):(ab+1)= c^2 $
Con $ cin N $

Qualcuno ha qualche idea?
A me l'unica cosa che mi è venuta in mente è che se
$ a =0 $ o $ b=0 $
( non entrambi contemporaneamente) ottengo un numero infinto di soluzioni poichè in quel caso avrei:
$a^2 = c^2$ (stessa cosa con b), ma non mi sembra di aver dimostrato un bel nulla...
Ultima modifica di RedJohn il 31/01/2019, 19:26, modificato 1 volta in totale.
RedJohn
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 4 di 14
Iscritto il: 19/01/2019, 23:38

Re: Espressione in N con quadrati

Messaggioda axpgn » 31/01/2019, 14:48

"Sai che" che cosa? Mi pare manchi qualche ipotesi …

$ (ab+1):(a^2+ b^2) = ??? $
axpgn
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 12848 di 40641
Iscritto il: 20/11/2013, 22:03

Re: Espressione in N con quadrati

Messaggioda RedJohn » 31/01/2019, 19:22

Scusate, pensavo di aver scritto correttamente, la condizione é che $ (ab+1):(a^2+b^2)=d $
Con $ din N $
RedJohn
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 5 di 14
Iscritto il: 19/01/2019, 23:38

Re: Espressione in N con quadrati

Messaggioda axpgn » 31/01/2019, 19:54

Se ho capito bene, a me pare che …

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Dall'ipotesi abbiamo $ab+1=d(a^2+b^2)$ e sostituendo nella tesi abbiamo $(a^2+b^2)/(d(a^2+b^2))=c^2$ da cui $1/d=c^2$ c he è soddisfatta solo da $d=1$ e $c=1$ (e pure $a$ e $b$ sono pari a $1$).

IMHO
axpgn
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 12852 di 40641
Iscritto il: 20/11/2013, 22:03

Re: Espressione in N con quadrati

Messaggioda giammaria » 01/02/2019, 18:35

Però il problema affrontato da axpgn non è dimostrare che dall'ipotesi segue la tesi. Credo che il testo dovesse essere:
"Dimostrare che se $c=(a^2+b^2):(ab+1)$ ed $a,b,c$ sono numeri naturali, allora $c$ è un quadrato"
Penso che si intenda come naturale anche lo zero (non tutti i matematici concordano su questo).
Non saprei dimostrarlo e quindi la mia interpretazione potrebbe essere sbagliata; negli esempi che ho considerato l'affermazione sembra però vera.
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
- E' disonesto che un disonesto si comporti in modo onesto (R. Powell)
giammaria
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 5005 di 9469
Iscritto il: 29/12/2008, 22:19
Località: provincia di Asti

Re: Espressione in N con quadrati

Messaggioda axpgn » 01/02/2019, 18:49

Non mi pare, ti sei perso un bel pezzo dell'ipotesi ovvero l'altra relazione … inoltre dimostrando che $c^2$ è pari a $1$, si dimostra anche che è un quadrato … IMHO …
Comunque, non avendo il testo originale (che forse non esiste neanche) si possono fare tutte le supposizioni che si vogliono :D
axpgn
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 12859 di 40641
Iscritto il: 20/11/2013, 22:03

Re: Espressione in N con quadrati

Messaggioda giammaria » 01/02/2019, 23:52

Il problema da te affrontato è stato "E' possibile che le due formule coesistano?" e la tua giusta risposta è stata "Sì, purché ..."; in altre parole, hai considerato come ipotesi anche quello che è scritto dopo il "Dimostrare che" e secondo me quella è la tesi.
Io invece penso che RedJohn abbia sbagliato nello scrivere l'ipotesi, scambiando fra loro dividendo e divisore. Con la mia supposizione, $c$ può essere un quadrato qualsiasi.
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
- E' disonesto che un disonesto si comporti in modo onesto (R. Powell)
giammaria
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 5006 di 9469
Iscritto il: 29/12/2008, 22:19
Località: provincia di Asti

Re: Espressione in N con quadrati

Messaggioda axpgn » 02/02/2019, 00:11

Premesso che solo lui sa (anzi probabilmente neanche lui :-D ), quello che dici è un tuo punto di vista, corretto ma UN punto di vista.
Il mio è: data la prima relazione è vera anche la seconda? Sì, a certe condizioni … ma è la normalità quando, per esempio, risolvi un'equazione … se invece, pretende che sia un'identità, allora è un altro paio di maniche … ovvero che dalla prima discenda sempre la seconda (anche se mi pare che sia vero anche in questo caso :D )

Comunque, ho capito solo ora cosa intendi (va beh, sarà l'ora … :D ) : tu dici che la prima e la seconda relazione sono uguali e la tesi è che $d=c^2$, entrambi interi; isn't it?

Cordialmente, Alex

P.S.: per Wolfram sembra che non cambi niente: le soluzioni son sempre le stesse :D
axpgn
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 12861 di 40641
Iscritto il: 20/11/2013, 22:03

Re: Espressione in N con quadrati

Messaggioda giammaria » 02/02/2019, 00:43

axpgn ha scritto: tu dici che la tesi è che $d=c^2$, entrambi interi; isn't it?

Sì, io dico che, supponendo che nell'ipotesi ci sia stato lo scambio di cui parlavo, la tesi è quella. Ed allora il problema diventa interessante.
Per una sicura interpretazione del testo, conviene attendere quello che dirà RedJohn, magari dopo aver consultato la sua prof.
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
- E' disonesto che un disonesto si comporti in modo onesto (R. Powell)
giammaria
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 5007 di 9469
Iscritto il: 29/12/2008, 22:19
Località: provincia di Asti

Re: Espressione in N con quadrati

Messaggioda dan95 » 02/02/2019, 18:57

Questo problema è famoso e mi pare che venne risolto qui qualche tempo fa...

Comunque il testo dice:

Supponiamo che $ab+1$ divide $a^2+b^2$ con $a,b$ interi positivi, allora $\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ è un quadrato perfetto.
"Chi è padrone del proprio respiro, è padrone della propria vita."~ Antico proverbio

"La capacità di scegliere è un dono che la natura fa all'uomo. Scegliere è un dono che l'uomo fa a se stesso." D.B.

"Il genio è semplicemente un uomo con la mente da donna." D. B.
dan95
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 2469 di 5268
Iscritto il: 10/06/2013, 16:37
Località: Roma Caput Mundi

Prossimo

Torna a Scervelliamoci un po'

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite