Sequenza di cifre

Messaggioda axpgn » 14/02/2019, 00:27

Il primo termine è $c_1=2$ mentre il secondo è $c_2=3$

Poi si prosegue così:
Moltiplico il primo termine per il secondo $c_1*c_2=2*3=6$ quindi il terzo termine è $c_3=6$
Moltiplico il secondo termine per il terzo $c_2*c_3=3*6=18$ quindi il quarto termine è $c_4=1$ e il quinto termine è $c_5=8$
Moltiplico il terzo termine per il quarto $c_3*c_4=6*1=6$ quindi il sesto termine è $c_6=6$
Moltiplico il quarto termine per il quinto $c_4*c_5=1*8=8$ quindi il settimo termine è $c_7=8$
Moltiplico il quinto termine per il sesto $c_5*c_6=8*6=48$ quindi l'ottavo termine è $c_8=4$ e il nono è $c_9=8$

E cosi via ... $2, 3, 6, 1, 8, 6, 8, 4, 8, ... $

Possiamo notare che la sequenza non ha fine, in quanto ad ogni moltiplicazione si avanza di un termine ma contemporaneamente ne vengono aggiunti uno o due.

Dimostrare che in questa sequenza, così costruita, non compaiono mai le cifre $5$, $7$ e $9$.


Cordialmente, Alex
axpgn
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 12982 di 40641
Iscritto il: 20/11/2013, 22:03

Re: Sequenza di cifre

Messaggioda Erich » 16/02/2019, 13:02

Ehm... questa è difficile per me, sono un paio di giorni che ci penso! :lol:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Basta dire/notare che la successione $c_i to 8$ per $i to oo$?
Ammesso che sia poi effettivamente così: intuitivamente la cifra $8$ compare sempre più spesso ed in proporzione maggiore rispetto alle altre cifre man mano che si va avanti nella successione :?


[€dit]: meglio aggiungere uno spoiler, giusto? :roll:
Erich
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 8 di 22
Iscritto il: 09/02/2019, 11:53

Re: Sequenza di cifre

Messaggioda Mathita » 16/02/2019, 15:14

Erich ha scritto:Ehm... questa è difficile per me, sono un paio di giorni che ci penso! :lol:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Basta dire/notare che la successione $c_i to 8$ per $i to oo$?
Ammesso che sia poi effettivamente così: intuitivamente la cifra $8$ compare sempre più spesso ed in proporzione maggiore rispetto alle altre cifre man mano che si va avanti nella successione :?


[€dit]: meglio aggiungere uno spoiler, giusto? :roll:


@ Erich
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
A intuito, non credo che la successione converga a 8. Se fissiamo $0<\varepsilon<1$ deve esistere $\nu\in\mathbb{N}$ tale che $|c_n-8|<\varepsilon$ per ogni $n>\nu$. Proprio perché la successione è formata da interi, la relazione $$|c_n-8|<\varepsilon<1 \ \ \ \forall n>\nu$$ sarebbe vera se e solo se $c_n=8 \ \ \ \forall n>\nu$. Nel momento in cui considero i termini $c_{n_0}, \ c_{n_0+1}$ con $n_0>\nu$, essi saranno entrambi uguali a 8 e il loro prodotto genererà 6 e 4 come elementi della successione, violando la definizione di limite.

Di fatto, ho notato anch'io che ci sono pezzi di stringa formati esclusivamente da 8, ma non mi aiuta a risolvere il problema :evil: .
Mathita
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 214 di 865
Iscritto il: 28/11/2015, 22:04

Re: Sequenza di cifre

Messaggioda giammaria » 16/02/2019, 17:49

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Tutti i numeri della sequenza sono di una sola cifra, che può essere la prima o la seconda del prodotto fra due numeri precedenti, cioè la prima o la seconda dei soli numeri che compaiono nella tavola pitagorica (considerata fino a 9*9=81).
Inizialmente nella sequenza non ci sono i numeri 5, 7, 9 e quindi inizialmente possiamo cancellare le relative righe e colonne; osservando quello che resta, notiamo che queste cifre non compaiono mai e quindi quelle righe e colonne saranno sempre escluse.

Apro un altro problema, che però mi sembra irresolubile: nella sequenza c'è una regolarità (ad esempio la periodicità) che permetta di dire qual è l'ennesimo numero senza calcolare tutti i numeri precedenti?
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
- E' disonesto che un disonesto si comporti in modo onesto (R. Powell)
giammaria
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 5017 di 9469
Iscritto il: 29/12/2008, 22:19
Località: provincia di Asti

Re: Sequenza di cifre

Messaggioda axpgn » 16/02/2019, 19:59

@giammaria
È una dimostrazione che non mi convince ...
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Per prima cosa quell'avverbio ("inizialmente") mi suona un po' vago, andrebbe precisato meglio ...
Secondariamente, la dimostrazione è circolare ovvero "siccome non ci sono all'inizio, non ci saranno anche dopo" ma questo andrebbe provato :D tant'è che non è neppure vero: per esempio $3 xx 3$ genera il $9$ :wink:

Per la regolarità, proverò a darci un'occhiata (se trovo il modo di costruirmi una sequenza lunga lunga senza fare fatica :D

Cordialmente, Alex
axpgn
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 12996 di 40641
Iscritto il: 20/11/2013, 22:03

Re: Sequenza di cifre

Messaggioda axpgn » 16/02/2019, 20:11

@Erich
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Mathita ti ha mostrato che $8$ non è il limite e io aggiungo che quella sequenza non ce l'ha un limite :D
Ma non solo : anche assumendo che un limite esista, non servirebbe a nulla, in quanto ti mostrerebbe solo il comportamento in un intorno del punto limite mentre la richiesta è che non compaiano MAI in tutta la sequenza.


Bravo per lo spoiler :smt023

Cordialmente, Alex
axpgn
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 12997 di 40641
Iscritto il: 20/11/2013, 22:03

Re: Sequenza di cifre

Messaggioda Zero87 » 16/02/2019, 20:55

Sono certo che la mia dimostrazione è troppo semplice e informale per essere corretta. Però ci provo.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Vado per osservazioni.

Osservazione 1.
Per costruzione ogni prodotto ha un risultato pari. La successione, infatti, al momento che compare un numero pari:
- o dà origine a un numero pari di una cifra;
- o dà origine a un numero pari di due cifre, ma in quel caso quando si arriverà a quei due termini sarà pur sempre uno pari e uno (la decina eventualmente) dispari.
Da questo deduco che alle unità non ci saranno più 5,7 e 9.

Osservazione 2.
I prodotti sono al massimo di 2 cifre proprio perché si considera come termine di una successione un termine di una cifra sola, quindi, al massimo, $9 \cdot 9 = 81$.

Osservazione 3.
Essendo $9 \cdot 9$ il prodotto più alto si può dedurre che il 9 non può capitare come cifra delle decine. Ma dall'osservazione 1 non capita nemmeno nelle unità quindi il 9 non capita (vedere anche osservazione 2).

Osservazione 4.
Il prodotto che dà il valore più alto, escluso il 9 dall'osservazione 3, resta $8\cdot 8 = 64 <70$ da cui si deduce che il 7 non capita alle decine ma, per l'osservazione 1, nemmeno alle unità.

Osservazione 5.
Manca da dimostrare una cosa analoga per il 5.
Per le osservazioni precedenti i tre prodotti con valore più alto sono $8\cdot 8= 64 > 59$, $6 \cdot 8 = 8 \cdot 6 = 48 <50$. Quindi il 5 non compare alle decine e, per l'osservazione 1, nemmeno alle unità.

Ammesso che sia giusto, penso che dimostrare una proprietà matematica in modo così brutto e poco matematico sia passabile da ban. :-D
Ex studente Unicam :heart:
Avatar utente
Zero87
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 5680 di 12931
Iscritto il: 12/01/2008, 23:05
Località: Marche

Re: Sequenza di cifre

Messaggioda axpgn » 16/02/2019, 21:35

@zero87
È quasi giusta (a mio parere) :D

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
È il primo punto che non mi convince (che poi è quello che conta).
Tu dici che "per costruzione" ogni prodotto è pari ma è un'affermazione apodittica cioè a priori non puoi esserne sicuro (vedi l'esempio $3 xx 3 = 9$, non lo puoi escludere a priori)
Sia tu che giammaria, a mio modesto parere, assumete per vero qualcosa che invece deve essere dimostrato ... IMHO
Comunque, siete sulla strada giusta ... :smt023


Cordialmente, Alex
axpgn
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 12999 di 40641
Iscritto il: 20/11/2013, 22:03

Re: Sequenza di cifre

Messaggioda Mathita » 16/02/2019, 21:46

@Axpng
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Avevo seguito la stessa strategia di Zero87. A essa ho aggiunto solo una postilla: ogni numero dispari della successione è preceduto e seguito da un numero pari. Nella peggiore delle ipotesi, può succedere che tre termini consecutivi della successione siano nella forma UDU (Unità, Decine, Unità- cifre dei prodotti di fattori precedenti) di questa tripletta solo D può essere dispari.

Edit: la parte più difficile di questo problema è la formalizzazione. Se dovessi scrivere un articolo, avrei diverse difficoltà nel formalizzare i ragionamenti. :smt012
Mathita
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 215 di 865
Iscritto il: 28/11/2015, 22:04

Re: Sequenza di cifre

Messaggioda axpgn » 16/02/2019, 22:39

Mathita ha scritto:… la parte più difficile di questo problema è la formalizzazione. …

Manca il tassello fondamentale, quello che "tiene in piedi" i vostri ragionamenti … :D
axpgn
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 13000 di 40641
Iscritto il: 20/11/2013, 22:03

Prossimo

Torna a Scervelliamoci un po'

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite