Sequenza di cifre

[Erich]

@Mathita: evidentemente mi sbagliavo
Algoritmicamente però penso di aver dimostrato due cose:

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- in nessuna successione $c_i$ con $i in [1,5*10^7]$ compaiono $5$, $7$, o $9$;
- tanto più si va avanti nella successione tanto più l'$8$ è il risultato "dominante", nel senso che compare con una frequenza sempre maggiore; è il motivo per cui ho azzardato a dire che il limite è $8$; intuitivamente per numeri enormi si avrà ad un certo punto sempre $8$ come risultato, anche se in effetti è vero che prima o poi in teoria ricompariranno anche le altre cifre

Per la regolarità, proverò a darci un'occhiata (se trovo il modo di costruirmi una sequenza lunga lunga senza fare fatica
Cordialmente, Alex

Qui ci sono quelli che dovrebbero essere i primi 50 miliardi di risultati:
https://drive.google.com/file/d/1fXhWuh ... sp=sharing
(occhio che è un file relativamente molto grande )

Fammi sapere se servono in altro formato o se serve un altro range di valori

[axpgn]

Grazie ma me ne sono bastati molti meno (un centinaio) per farmi un'idea

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Il fatto è che le diverse "sequenze ripetitive di cifre" tendono ad allungarsi sempre più, distanziandosi al contempo maggiormente; per esempio partendo dalla sequenza $8, 4, 8$ otteniamo:
$3, 2, 3, 2$
$6, 6, 6$
$3, 6, 3, 6, 3, 6$
$1, 8, 1, 8, 1, 8, 1, 8, 1, 8$
$8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8$
Come si può vedere, in "un attimo" si giunge ad una lunga sequenza di $8$, la quale però darà luogo ad una altrettanto lunga sequenza di $6, 4$.
Inoltre la variabilità è aumentata (garantita?) dall'inserimento (se così si può dire) di altri numeri prima e dopo queste lunghe sequenze.
Probabilmente i prodotti ottenibili non sono molti ma lo studio dei possibili incastri e quindi di un'eventuale loro prevedibilità lo vedo un po' lunghetto

Cordialmente, Alex

[giammaria]

@ axpgn
Mi era proprio sfuggito il $3*3=9$. che manda all'aria la mia dimostrazione. Discordo un po' con l'altra osservazione; secondo me, il mio discorso era giusto (bé, a parte quell'errore) anche se effettivamente sarebbe stato meglio esporlo con altre parole.
Idem per la dimostrazione di Zero87, che non ha errori; credo che lui stesso ne manderà un'altra versione, ma il concetto non cambia.

[Zero87]

Idem per la dimostrazione di Zero87, che non ha errori; credo che lui stesso ne manderà un'altra versione, ma il concetto non cambia.

Sto pensando da un po' a come formalizzarla o migliorarla ma sono in alto mare...

[axpgn]

... il mio discorso era giusto (bé, a parte quell'errore) anche se effettivamente sarebbe stato meglio esporlo con altre parole.
Idem per la dimostrazione di Zero87, che non ha errori; credo che lui stesso ne manderà un'altra versione, ma il concetto non cambia.

A mio parere, non è così, provo a dimostrarvelo postando la mia soluzione ...

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Il punto focale consiste nel fatto che in questa sequenza non possono esserci due cifre dispari consecutive.
Perché?
Possiamo ottenere due cifre dispari consecutive in tre modi:
- come risultato della moltiplicazione di due cifre dispari consecutive che producano un numero di due cifre
- come risultato della moltiplicazione di due cifre dispari consecutive che producano un numero di una sola cifra posposto all'ultima cifra dispari della sequenza
- come cifra delle decine (del risultato della moltiplicazione che produca un numero di due cifre) posposto all'ultima cifra dispari della sequenza.
In tutti e tre i casi , affinché accada questo, devono esserci altre due cifre dispari consecutive nella sequenza, precedenti a quest'ultima coppia.
Ma per generare la penultima coppia, deve essercene un'altra prima, e poi ancor prima un'altra e così via.
Questo ci porta a considerare le prime tre cifre ovvero le prime due coppie; questo perché le prime due coppie non sono state costruite con queste regole ma fissate a priori.
Verificato che anch'esse non sono coppie "dispari", l'assunto è provato.
Da ciò ne discende che la cifra delle unità dei prodotti non può essere dispari (e quindi neppure $5, 7$ e $9$).
La cifra $9$ non può essere la cifra delle decine di un prodotto di due sole cifre. E quindi è esclusa del tutto.
La cifra $7$ compare solo in $72$ ma dato che è $72=9 xx 8$ e nove non ce ne sono, non ci saranno neppure i sette.
Infine il $5$ compare in $54$ e $56$ ma dato che $54=9 xx 6$ e $56=7 xx 8$ anche il $5$ non c'è.

CVD.

La differenza tra questo ragionamento e gli altri sta nel fatto che io ho ragionato "a ritroso" invece che "in avanti"; è un po' come se aveste applicato l'induzione ma senza dimostrare il "passo base".
Difatti ti è sfuggito il $3 xx 3 = 9$, tu dici "Sì, vabbè, ma eliminato quello, funziona" ... eh, no, chi ti garantisce che non ci sia una situazione simile ma difficile da trovare più avanti? Invece come ho fatto io, siamo sicuri. Isn't it?

Cordialmente, Alex

[giammaria]

Dicevo che il concetto non cambia e lo faccio vedere mandando la mia soluzione riveduta e corretta. In sostanza differisce poco dalla tua; è solo un po' più breve.

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Articolo la soluzione in due punti, che dimostro entrambi per induzione completa; il primo punto mi è stato ispirato dalla risposta di Zero87 ed è anche quello che citi nella tua ultima mail. Entrambi i punti iniziano con la frase (che scrivo solo qui) "L'affermazione è verificata fino a $c_2$; dimostro che se è verificata fino a $c_(n-1)$ lo è anche per $c_n$"

Punto 1: non ci sono due dispari consecutivi.
Infatti allora il prodotto da cui deduco $c_n$ (e l'eventuale $c_(n+1)$) dà risultato pari; la cifra delle decine può essere dispari, ma risulta scritta fra due cifre delle unità, entrambe pari.

Punto 2: non ci sono i numeri 5, 7, 9.
Infatti allora il prodotto di cui sopra è uno di quelli della tavola pitagorica, con l'esclusione delle righe e colonne 5, 7, 9. Per il punto 1, vanno anche esclusi i multipli dispari di 1, 3: in quello che resta non compaiono le cifre incriminate, che quindi non possono essere $c_n$.