Dodecagono

[axpgn]

Sia dato un dodecagono regolare inscritto in un cerchio di raggio unitario.
Quanto vale la sua area?

Cordialmente, Alex

[Obidream]

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In generale l'area di un poligono regolare è data da $A = p*a$ ove $p$ è il semiperimetro ed $a$ l'apotema.

Inoltre lato di un dodecagono inscritto in una circonferenza è da:
$l = sqrt(2r^2(1-cos(30°))) = sqrt(2r^2(1-sqrt(3)/2)) = r*sqrt(2-sqrt(3))$ per il Teorema del coseno.

Per l'apotema considero l'altezza alla base di uno dei 12 triangoli isosceli individuati dalle 6 diagonali:

$a = sqrt(r^2-l^2/4)$

Per cui essendo $l$ noto: $a=r/2*sqrt(2+sqrt(3))$

$p = 6l = 6r*sqrt(2-sqrt(3))$


Sostituendo nella formula dell'area:


$A = 6r*sqrt(2-sqrt(3))*r/2*sqrt(2+sqrt(3)) = 3r^2$ quindi per la circonferenza unitaria $A=3$

[MrDark82]

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Anche io ho pensato di sfruttare il semiperimetro e l'apotema.
Solo che, forse più semplicemente, ho sfruttato la trigonometria, esprimendo il lato del dodecagono come 2sen(15°) e l'apotema come cos(15°). Inoltre

\(\displaystyle \sin(15°)=\sqrt{\frac{1-\cos(30°)}{2}} \)

\(\displaystyle \cos(15°)=\sqrt{\frac{1+\cos(30°)}{2}} \)


Quindi l'area vale A = 12*2*sen(15°)*cos(15°)/2 = … = 6sen(30°) = 3

[axpgn]

Ma quanto siete complicati! Scherzo, ovviamente va bene così

Però l'ho postato perché esiste una soluzione carina che è diventata anche famosa …

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

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Ho impostato il calcolo $ A=6 cdot (1 cdot 1)/2 $ ma, nonostante la semplificazione per due, non sono riuscito a completarlo, perché non disponevo della calcolatrice,

Ciao

[axpgn]

@orsoulx

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Sarebbero sei quadrilateri con due diagonali perpendicolari entrambe di lunghezza unitaria?
Carina, molto molto carina (son riuscito pure a capirla ), ma non è quella che citavo
Senza calcoli (quantomeno non espliciti, perché alla fin fine i calcoli ci sono sempre), solo geometria … sembra che abbia dato il nome ad un oggetto comune in casa

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Il metodo a cui mi riferivo è noto come "Piastrella di Kurschak"

Questa:

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Si disegna il cerchio unitario, il dodecagono inscritto e un quadrato circoscritto al cerchio.
Il quadrato avrà quindi lato $l=2$ e area $A=4$.
Si congiungono i vertici del dodecagono con il centro e si disegna su ogni lato del dodecagono un triangolo equilatero rivolto verso l'interno e poi si congiunge "la punta" dell'equilatero con il centro: si ottengono dodici "spicchi" formati da un equilatero e due isosceli congruenti.
Adesso si "stacchi" e si "scomponga" un quarto del dodecagono, si avranno tre equilateri e sei isosceli.
Con questi si "riempie" lo spazio "vuoto" tra il resto del dodecagono e il quadrato; ci stanno perfettamente .
Così si avrà che l'area del dodecagono riempie esattamente tre quadranti del quadrato ovvero tre quarti di quattro cioè tre.
A parole sembra più complicato di quello che è, con un paio di forbici è un attimo …

Cordialmente, Alex