Problemino sull'ennagono regolare.

[Erasmus_First]

Richiamo
In un ennagono [=poligono con nove lati] regolare ci sono diagonali di tre diverse lunghezze
• Una diagonale "corta" forma un triangolo isoscele con due lati consecutivi dell'ennagono.
• Una diagonale "lunga" forma un pentagono irregolare con 4 lati consecutivi dell'ennagono.
[Una diagonale di lunghezza intermedia forma un trapezio isoscele con tre lati consecutivi dell'ennagono].

Problema:
Dimostrare che in un ennagono regolare la differenza tra le lunghezze di una "diagonale lunga" e di una "diagonale corta" è uguale alla lunghezza del lato.
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[axpgn]

Mi spiace Erasmus ma lo hanno appena postato qui …

Cordialmente, Alex

[Erasmus_First]

Mi spiace Erasmus ma lo hanno appena postato qui …

Cordialmente, Alex

Grazie, Alex.
Io vengo da "Rudi mathematici" dove questo quiz è stato "postato" da poco.
Non ho controllato le date e l'ora esatte là su "Rudi Mathematici" e qui su "Giochi matematici".
Ma è molto probabile che chi ha messo questo quiz in Rudi Mathematici l'abbia visto subito prtima in matematicamente.it ... o viceversa (precedendo quindi Erasmus).
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Ma allora ... modifico il quiz perché la "mia" dimostrazione è interessante (in quanto mi pare abbastanza originale)

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Assunta unitarioa la lunghezza di un lato di un ennagono regolare, la lunghezza delle diagonali lunghe r– diciamola $L$ – è:
$L = 1/(2sin(10°))$.
La lunghezza delle diagonali corte – diciamola $C$ – è:
$C = 2 cos(20°)$.
La differenza $L – C$ – diciamola $D$ – è dunque:
$D = L – C = 1/(2sin(10°)) – 2 cos(20°)$.
Dimostrare che D vale 1.

Insomma:
Pur non conoscendo i valori di sin(10°) e di cos(20°):
Dimostrare che $1/(2sin(π/18))$ $– 2 cos(π/9) =1$.
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[axpgn]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$pi/18=alpha$ e $pi/9=beta$

$1/(2sin(alpha))-2cos(beta)=1$

$1-4sin(alpha)cos(beta)=2sin(alpha)$

$1-4*1/2*[sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta)]=2sin(alpha)$

$1-2[sin(pi/6)+sin(-alpha)]=2sin(alpha)$

$1-2[1/2-sin(alpha)]=2sin(alpha)$

$1-1+2sin(alpha)-2sin(alpha)=0$

Cordialmente, Alex

[Erasmus_First]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

@ Alex/axpgn
Oh che bel metodino, marcondirondirondino,
oh che bel metodino marcondirondirondà!

Ma il mio è ancor più bello marcondirondirondello!
Sì il mio è ancor più bello marcondirondirondà!

$1/(2sin(10°)) -2cos(20°) = 1/(2sin(10°)) –2[1–2sin^2(10°)] = (8sin^3(10°) - 4sin(10°) + 1)/(2sin(10°)) = ???$ (*)
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NB: Per trovare quanto vale l'espressione (*) senza conoscere quanto vale sin(10°) si può sfruttare il fatto che in generale $sin(3x) = 3sin(x) – 4sin^3(x)$ (oltre a ricordare che sin(30°) = 1/2), per cui:

$(8sin^3(10°) - 4sin(10°) + 1)/(2sin(10°)) =(2·[4·sin^3(10°) –3·sin(10°)] +2sin(10°) +1)/(2sin(10°)) =$

$=(-2·sin(30°) + 2·sin(10°)+1)/(2·sin(10°))=(-1+2·sin(10°)+1)/(2·sin(10°)) = (2sin(10°))/(2sin(10°))=1$.

C. D. D.
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[axpgn]

Beato te che sei così allegro alle tre di notte! … peraltro non ho capito perché hai messo sotto spoiler il commento e non la soluzione …

Cordialmente, Alex