Ahahah! Faccio le cose di fretta
Dimostrazione: usando il fatto che i tre numeri sommino a $n$, si può riscrivere il sistema di disequazioni chiedendo che
tutti e tre siano non più grandi di $\frac{n}{2}$. D'altronde $z=n-(x+y)$ e quindi la terza disequazione si riscrive come $y \geq \frac{n}{2}-x$. Quindi i valori $(x,y)$ delle soluzioni andranno cercate all'interno del triangolo di coordinate $(0, \frac{n}{2}), (\frac{n}{2}, 0), (\frac{n}{2}, \frac{n}{2})$, bordo compreso. In particolare è necessario e sufficiente contare i punti a coordinate intere contenuti nel triangolo, perché il fatto che $x$ e $y$ siano interi assicura che anche $z$ lo sia. Per concludere si usa la formula per i numeri triangolari. O, nel caso di $n$ pari, si può usare il
teorema di Pick Infine, fatto che le soluzioni vadano cercate fra le terne di numeri positivi vuol dire che non bisogna contare i punti corrispondenti ai vertici del triangolo, quindi, nel caso di $n$ pari, bisogna sottrarre $3$ soluzioni!