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Il punto fondamentale è dimostrare che l'applicazione di questa operazione ad un numero intero con quattro cifre o più, produce un intero con un numero di cifre inferiore.
Ripetendo l'operazione più volte si giungerà quindi sicuramente ad un intero al massimo di tre cifre.
A questo punto si può verificare velocemente "a mano" che ogni numero di tre cifre si riduce ad un intero $<=243$ che a sua volta si riduce ad un intero $<=162$ e con un ulteriore passaggio si giunge ad un numero minore di cento.
Teoricamente andrebbero verificati tutti e cento ma sfruttando simmetrie e ripetizioni, bastano una trentina di controlli per giungere alla tesi.
Una dimostrazione del punto fondamentale è questa:
Dato un intero $N$ composto da $c$ cifre e detta $q(N)$ l'operazione in questione, vogliamo dimostrare che se $c>=4$ allora $N>q(N)$.
Dato che $q(N)<=81c$ e $10^(c-1)<=N$, se prendiamo la diseguaglianza $81c<10^(c-1)$ vediamo che è verificata per $c>=4$.
C.V.D.
E come va a finire peri cubi? E per le quarte potenze?
Cordialmente, Alex