Cifre quadrate

[axpgn]

Prendete un numero naturale e sommate i quadrati di ognuna delle sue cifre.
Poi ripetete la stessa operazione sul risultato.
E poi ancora, e ancora …

Per esempio ...

$2583\ ->\ 2^2+5^2+8^2+3^2=102\ ->\ 1^2+0^2+2^2=5\ ->\ 5^2=25\ ->\ 2^2+5^2=29\ ->\ ...$

Dimostrate che prima o poi o arrivate al numero $1$ (che si ripete indefinitamente) oppure al numero $145$ e alla sequenza $145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, 89$ (che si ripete indefinitamente anch'essa)

Cordialmente, Alex

[Vidocq]

Non mi va di scrivere in questo momento.
Riporto un paio di riferimenti utili.

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A Set of Eight Numbers, Arthur Porges, 1945.
Happy number
8-cycle endlessly

[axpgn]

Se è per quello, ce ne sono altri di riferimenti ma non è questo il senso del thread

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Peraltro, per quel che ne so, gli "happy numbers" sono gli altri, quelli che vanno a finire in $1$

Cordialmente, Alex

[Vidocq]

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Certo, ma studiando i numeri felici devi per forza imbatterti in quel ciclo. Tutto qui e senza polemica.

[curie88]

Una sequenza un pochino magica insomma?

[axpgn]

È passato un po' di tempo, forse è ora di chiudere …

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Il punto fondamentale è dimostrare che l'applicazione di questa operazione ad un numero intero con quattro cifre o più, produce un intero con un numero di cifre inferiore.
Ripetendo l'operazione più volte si giungerà quindi sicuramente ad un intero al massimo di tre cifre.
A questo punto si può verificare velocemente "a mano" che ogni numero di tre cifre si riduce ad un intero $<=243$ che a sua volta si riduce ad un intero $<=162$ e con un ulteriore passaggio si giunge ad un numero minore di cento.
Teoricamente andrebbero verificati tutti e cento ma sfruttando simmetrie e ripetizioni, bastano una trentina di controlli per giungere alla tesi.

Una dimostrazione del punto fondamentale è questa:
Dato un intero $N$ composto da $c$ cifre e detta $q(N)$ l'operazione in questione, vogliamo dimostrare che se $c>=4$ allora $N>q(N)$.
Dato che $q(N)<=81c$ e $10^(c-1)<=N$, se prendiamo la diseguaglianza $81c<10^(c-1)$ vediamo che è verificata per $c>=4$.
C.V.D.

E come va a finire peri cubi? E per le quarte potenze?

Cordialmente, Alex

[Super Squirrel]

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 0#p8479642

[axpgn]