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Re: Diametro unitario

20/04/2019, 22:18

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
giammaria ha scritto:Grazie, Vincent46, perché con la tua risposta hai ispirato la mia.


Per la verità, senza nulla togliere a Vincent (che ha validamente contribuito, perdonami Vincent :) ), l'idea della soluzione, disegnando l'intersezione dei due cerchi, e di restringere ulteriormente l'insieme (anche tagliando una parte sopra e una sotto dell'intersezione) era mia...
Non è che voglio il copyright, ma almeno una menzione d'onore... :)


Dopo abbozzo in un disegno una mia soluzione, detta anche 'soluzione dell'uovo di Pasqua'.
Però in effetti è inutile, è analoga a quella di Giammaria.
Ultima modifica di gabriella127 il 21/04/2019, 10:47, modificato 1 volta in totale.

Re: Diametro unitario

20/04/2019, 22:53

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Ho letto che un insieme di diametro unitario può essere ricoperto da un esagono regolare di lato $sqrt3/3$ (e quindi da un triangolo equilatero di lato $sqrt3$, in effetti gli angoli del triangolo sono 'inutili').
Però si tratta di dimostrarlo per l'esagono, e quindi siamo da capo a dodici. O dimostrarlo per l'esagono è più facile?

Re: Diametro unitario

20/04/2019, 23:10

Quello che dice veciorik è vero, ma dov'è l'errore del mio ragionamento? Deve essere qualcosa di così banale da sfuggire, come ad esempio scrivere 1+1=3: anche rifacendo il calcolo cento volte, si continua sempre a ripetere l'errore.

Re: Diametro unitario

22/04/2019, 11:55

soluzione:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Una figura di diametro uno è compresa tra due rette parallele, distanti al massimo uno, in qualsiasi direzione.
Tre direzioni con angoli di 60° formano un'esagono con lato \( \sqrt 3/3 \) e un triangolo con lato \( \sqrt 3 \) .

Re: Diametro unitario

22/04/2019, 13:45

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
veciorik ha scritto:soluzione:
Una figura di diametro uno è compresa tra due rette parallele, distanti al massimo uno, in qualsiasi direzione.
Tre direzioni con angoli di 60° formano un'esagono con lato \( \sqrt 3/3 \) e un triangolo con lato \( \sqrt 3 \)


Ottimo, Veciorik!
In effetti era meglio dimostrarlo passando per l'esagono.

Re: Diametro unitario

23/04/2019, 00:09

Mmmm… Qui c’è sotto qualcosa di più complicato.

Veciorik sta implicitamente usando non il diametro, ma la larghezza (“width” in English).
Se $alpha$ è una direzione, la larghezza di una figura $F$ nella direzione $alpha$, denotata $w(F; alpha)$, è definita come la distanza tra una coppia di rette perpendicolari ad $alpha$ che supportano $F$1; la larghezza di $F$, denotata con $w(F)$, è l’estremo superiore di $w(F; *)$ su $mathbb(S)^1$, mentre la larghezza media di $F$, denotata con $bar(w)(F)$, è la media integrale di $w(F;*)$ su $mathbb(S)^1$.
Un insieme $F$ è detto di larghezza costante se $w(F;*)$ è costante su $mathbb(S)^1$.

Si dimostra, se non erro, che ogni insieme di $RR^2$ avente diametro $d >=0$ è contenuto in un convesso di larghezza costante $w=d$.
Poi, si dimostra che per ogni convesso di larghezza costante $w=1$ è possibile costruire un esagono regolare di lato $1/sqrt(3)$ che lo ricopre.

Note

  1. Una retta è di supporto per una figura piana, detto rozzamente, se essa interseca la figura in punti di frontiera e non in punti interni.

Re: Diametro unitario

23/04/2019, 01:19

Capico quello che dici, gugo, ma Veciorik alla fine sta dicendo che un insieme di diametro uno ha larghezza minore o uguale a uno in tutte le direzioni. Non vedo cosa non funzioni nel suo ragionamento, mi posso sbagliare, data anche la tarda ora, ma ora non lo vedo.
A quello che ho capito, dove ho letto, il fatto che un insieme di diametro uno sia contenuto in un esagono regolare di diametro $sqrt3/3$ è dato come un risultato piuttosto elementare.
Elementare per noi dopo che lo ha detto Veciorik! Altrimenti stavamo ancora a 'miagolare nel buio', come diceva Corrado Guzzanti :-D

Re: Diametro unitario

23/04/2019, 01:58

Non ho detto che non funziona.
Ho solo cercato di far capire che c’è in ballo un po’ di più di quanto sembri.

Re: Diametro unitario

23/04/2019, 02:02

Certo, grazie.

Re: Diametro unitario

23/04/2019, 15:50

Ok, ecco la mia soluzione ...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Una striscia di larghezza unitaria (cioè l'area compresa tra due rette parallele distanti una unità di misura) è sufficiente per ricoprire qualsiasi insieme di punti del piano di diametro unitario, qualunque sia la direzione (orientamento) della striscia stessa.
Chiamo "striscia minimale" quella che, per una determinata direzione, ricopre interamente l'insieme di diametro unitario ed ha la larghezza minima ($<=1$).

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Dimostrazione:
Prendo una retta del piano "esterna" al mio insieme (cioè l'insieme di punti del piano $S$ avente diametro unitario si trova tutto in una delle due parti in cui la retta divide il piano).
Avvicino la retta all'insieme $S$ mantenendola parallela a sè stessa finchè non tocca il "primo" punto del piano (o anche più di uno contemporaneamente).
Prendo un'altra retta, parallela alla prima, ma "esterna" a $S$ dall'altra parte.
La avvicino all'insieme di punti, sempre mantenendola parallela a sè stessa, finchè non si trovi ad una distanza pari a $1$ dalla prima retta.
Ora, se ci fossero dei punti di $S$ "esterni" alla striscia, questi sarebbero ad una distanza $D>1$ rispetto al "primo" punto toccato dalla prima retta; ma ciò sarebbe in contraddizione col fatto che $S$ ha diametro unitario.
CVD

Proseguiamo ...

Prendo tre strisce minimali per $S$, orientate fra loro di $60°$.
Le rette di queste strisce formano due triangoli equilateri.
Prendo un qualsiasi punto $P$ di $S$ e traccio le perpendicolari da esso ai lati dei due triangoli.
Dato che $P$ è un punto interno ad un triangolo equilatero, la somma dei tre segmenti $a, b, c$ è pari all'altezza di uno dei triangoli equilateri $a+b+c=H_1$; idem per l'altro $q+r+s=H_2$.
Essendo però i lati dei triangoli paralleli, i diversi segmenti non sono indipendenti tra loro ma vale $a+s<=1$, $b+q<=1$ e $c+r<=1$, da cui $a+b+c+q+r+s<=3$ ovvero $H_1+H_2<=3$.
Ma le due altezze non possono essere entrambe maggiori di $3/2$ per cui almeno una delle due sarà $H<=3/2$, e dato che $H=sqrt(3)/2*l\ ->\ l=(2H)/sqrt(3)<=2/sqrt(3)*3/2=sqrt(3)$.
Immagine


Cordialmente, Alex
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