Diametro unitario bis

[axpgn]

Se un insieme $S$ di punti del piano avente diametro unitario può essere ricoperto interamente da un esagono regolare $ABCDEF$ di lato $1/sqrt(3)$, dimostrare che lo stesso insieme $S$ può essere ricoperto interamente dallo stesso esagono regolare al quale siano stati tagliati via due "angoli alternati", nel significato che segue:
- disegnate il cerchio inscritto all'esagono di centro $O$
- tracciate il segmento $OA$, il quale interseca il cerchio nel punto $P$
- tracciate la tangente al cerchio in $P$, la quale interseca $AB$ in $Q$ e $AF$ in $R$
- tagliate via il triangolo $AQR$
- ripetete la stessa operazione nel vertice $C$

Cordialmente, Alex

[giammaria]

Dato che nessuno risponde, mando la mia soluzione anche se mi sembra troppo facile per essere giusta. Per questo lascio in chiaro terminologia ed interpretazione.
Uso la parola angolo nel senso dell'enunciato; ad esempio, chiamo angolo $A$ il triangolo $AQR$. Con l'esclusione del lato $QR$ perché altrimenti l'insieme formato da $P$ e dai suoi cinque analoghi non soddisferebbe la tesi.
Dico che un angolo è pieno quando contiene almeno un punto dell'insieme; vuoto altrimenti.
La tesi diventa “Dimostrare che l'esagono in questione ha almeno due angoli vuoti alternati”.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Due angoli opposti distano fra loro più del diametro del cerchio inscritto, che vale uno; quindi se uno di essi è pieno l'altro è vuoto e ne consegue che ci sono sempre almeno tre angoli vuoti.
Detto $A$ uno di essi, se uno degli altri due è $C$ o $E$, è alternato con $A$; altrimenti gli altri due vanno scelti fra $B,D,F$ e sono alternati fra loro. In entrambi i casi, la tesi è soddisfatta.

[axpgn]

Perfetto!

@giammaria

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Detta così sembra facile (e lo è) ma dato che il problema è qui da due mesi forse non era così semplice da risolvere oppure, detto in altro modo, mica tutti hanno il tuo occhio

Per curiosità, l'esagono così "tagliato" si chiama Pal's universal cover of plane sets of diameter $1$, in onore del matematico ungherese J.Pal che lo propose nel 1920.

Cordialmente, Alex