Calcolo di una frazione

Messaggioda Vincent46 » 11/05/2019, 09:19

Calcolare (senza calcolatrice) il valore della seguente frazione (la risposta dev'essere un numero naturale):

$\frac{(10^4+324)(22^4+324)(34^4+324)(46^4+324)(58^4+324)}{(4^4+324)(16^4+324)(28^4+324)(40^4+324)(52^4+324)} $


Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Fonte: AIME 1987
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Bozza di soluzione

Messaggioda j18eos » 12/05/2019, 16:19

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Inizio a notare che \(\displaystyle324=2^2\cdot3^4\); utilizzando un esercizio che diedi a lezione, ovvero che \(\displaystyle(a^2+2b^2-2ab)\cdot(a^2+2b^2+2ab)=a^4+2^2b^4\), si possono ulteriormente scomporre quei fattori, dato che possono essere astrattizzati in questa forma qui.

Inoltre, essendo il termine \(\displaystyle a\) un numero del tipo \(\displaystyle4+6k=2(2+3k)\) con \(\displaystyle k\in\{0,\dots,9\}\), si può semplificare ogni singolo fattore per \(\displaystyle 2\).

Essendo ridotte le parentesi dell'intera fazione a somme e prodotti di quadrati: io svolgerei i calcoli e semplificherei ottenendo il risultato.
Può andare il ragionamento?
Ultima modifica di j18eos il 12/05/2019, 19:59, modificato 1 volta in totale.
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Re: Calcolo di una frazione

Messaggioda axpgn » 12/05/2019, 18:40

Partendo dall'idea di j18eos (thanks :D ) e sviluppandola otteniamo ...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
$a^4+4b^4=a^4+4a^2b^2+4b^4-4a^2b^2=(a^2+2b^2)^2-(2ab)^2=$

$a^4+4b^4=[(a^2+2b^2+2ab)(a^2+2b^2-2ab)]=[((a+b)^2+b^2)((a-b)^2+b^2)]$

Applicando questa scomposizione ai vari fattori otteniamo, per esempio:

$10^4+4*3^4=[((10+3)^2+9)((10-3)^2+9)]=(13^2+9)(7^2+9)$

Sviluppando tutti i fattori e semplificando rimane $(61^2+9)/(1^2+9)=3730/10=373$


Cordialmente, Alex
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Re: Calcolo di una frazione

Messaggioda Vincent46 » 12/05/2019, 19:39

Bravissimi :smt023
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
L'identità in questione si chiama "Identità di Sophie Germain": https://it.m.wikipedia.org/wiki/Identit ... ie_Germain
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Messaggioda j18eos » 12/05/2019, 20:00

Ho appreso nuove nozioni anche oggi. (:
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Re: Calcolo di una frazione

Messaggioda gugo82 » 20/05/2019, 21:01

j18eos ha scritto:\( \displaystyle(a^2+2b^2-2ab)\cdot(a^2+2b^2+2ab)=a^4+2^2b^4 \)

Quanto è bella l’identità di Sophie Germain! :wink:


P.S.: “astrattizzare”? :?
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