Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.
06/06/2019, 22:59
Dimostrare che il numero $5^(5k+1)+4^(5k+2)+3^(5k)$ è sempre divisibile per $11$ per ogni $k$ naturale.
Cordialmente, Alex
09/06/2019, 16:07
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Per induzione è facilmente risolvibile
10/06/2019, 10:13
settevoltesette, ne sei sicuro? A me non sembra. ma forse tu hai fatto un ragionamento che mi sfugge ed allora ti prego di scriverlo. La mia soluzione è completamente diversa ma per ora non la mando
10/06/2019, 11:39
Settevoltesette ha ragione
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$a_{k}=5^{5k+1}+4^{5k+2}+3^{5k}$
$a_{0}=22$
$a_{k+1}=5^{5}5^{5k+1}+4^{5}4^{5k+2}+3^{5}3^{5k}=5^{5}a_{k}-(5^{5}-4^{5})4^{5k+2}-(5^{5}-3^{5})3^{5k}=$
$5^{5}a_{k}-(2101)4^{5k+2}-(2882)3^{5k}$
2101 e 2882 sono divisibili per 11
La soluzione di giammaria immagino usi l'aritmetica modulare.
10/06/2019, 15:48
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5^5, 4^5, 3^5 sono tutti e tre nella forma 11k+1 ed allora ti rifai al caso precedente
10/06/2019, 16:00
totissimus ha scritto:La soluzione di giammaria immagino usi l'aritmetica modulare.
Immagini bene; poiché però l'aritmetica modulare non è nel programma delle secondarie, l'ho scimmiottata col ragionamento che avrei fatto al liceo.
10/06/2019, 17:18
@Settevoltesette
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D'accordo che $5^5, 4^5, 3^5$ danno come resto $1$ ma che significa la frase "ed allora ti rifai al caso precedente" ?
10/06/2019, 17:38
Fissato k allora k+1 si può riscrivere come:
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\(\displaystyle 5^5*5^(5k+1) + 4^5*4^(5k+2) + 3^5 *3^(5k) \)
10/06/2019, 17:59
Ok, ma va dimostrato che quello è divisibile per undici …
10/06/2019, 18:00
Passo base k=0
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