Triangolo rettangolo

Messaggioda axpgn » 05/08/2019, 21:25

Data l'ipotenusa, costruire un triangolo rettangolo in modo che la mediana relativa all'ipotenusa sia la media geometrica dei cateti.

Cordialmente, Alex
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Re: Triangolo rettangolo

Messaggioda @melia » 07/08/2019, 18:42

Domandina estiva facile, facile.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Dopo aver osservato che la mediana è la metà dell'ipotenusa, il problema si riduce ad un'equazione con la definizione di media geometrica e una con il teorema di Pitagora. Le soluzioni sono
Per i cateti $(sqrt6 +- sqrt2)/4*i $
Per gli angoli $15°$ e $75°$
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Re: Triangolo rettangolo

Messaggioda axpgn » 07/08/2019, 21:06

Ok :smt023

Ma senza calcolare i cateti (né gli angoli che è la stessa cosa) come lo costruiresti? :D

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Re: Triangolo rettangolo

Messaggioda giammaria » 12/08/2019, 14:58

Direi che la soluzione di @melia è la migliore possibile perché rapida ed elementare; anche la soluzione trigonometrica è rapida. La costruzione geometrica che ho trovato è invece più lunga, ma la mando.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Figura
- ABC è il triangolo da trovare, rettangolo in B;
- D è il quarto vertice del rettangolo ABCD;
- E è l'intersezione del prolungamento di DC con la parallela ad AC passante per B;
- F,G sono le proiezioni ortogonali di B,E sulla retta AC.

Analisi del problema
Due parallelogrammi aventi un lato in comune ed il lato opposto sulla stessa parallela sono equivalenti, quindi

$AB*BC=S(ABCD)=S(ABEC)=S(BEGF)=BE*BF$

Occorre che questo risultato sia uguale al quadrato della mediana; poiché BE ne è il doppio, BF deve esserne la metà, quindi $BF=1/4BE$

Costruzione
Perpendicolarmente fra loro, disegno BE (a piacere) e $BF=1/4BE$; per F traccio la parallela a BE, su cui deve giacere C. Inoltre C vede BE sotto un angolo retto, quindi sta sulla circonferenza di diametro BE; è quindi una delle intersezioni di queste due curve (l'altra intersezione dà un triangolo uguale, a cateti scambiati).
Trovo poi A completando il parallelogramma ABEC.
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
- E' disonesto che un disonesto si comporti in modo onesto (R. Powell)
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Re: Triangolo rettangolo

Messaggioda axpgn » 12/08/2019, 15:09

giammaria ha scritto:Direi che la soluzione di @melia è la migliore possibile perché rapida ed elementare;

Io penso che ne esista una più rapida :wink:
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Re: Triangolo rettangolo

Messaggioda AleGa » 12/08/2019, 17:33

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Io direi: dato un esagono inscritto in un cerchio, tracciare l’asse relativo al lato CD. A e B sono le intersezioni tra cerchio e asse. ABC è il triangolo che soddisfa le condizioni imposte.


Scusami AleGa, ho messo il messaggio nascosto perché in questa sezione di solito facciamo così, in tal modo solo chi vuole vede la soluzione, il problema resta anche per chi viene dopo e vuole cimentarsi.
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Re: Triangolo rettangolo

Messaggioda axpgn » 12/08/2019, 17:57

Complimenti! :smt023
Questa è proprio una soluzione bellissima!
La mia è una via di mezzo :-D

Dovresti però mettere la soluzione sotto spoiler per non influenzare altri che vorrebbero partecipare.

Cordialmente, Alex
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Re: Triangolo rettangolo

Messaggioda giammaria » 13/08/2019, 08:17

La soluzione di AleGa è senz'altro bellissima, ma come si dimostra velocemente che è davvero soluzione? Io riesco solo a pensare a calcoli trigonometrici o lunghetti, per di più fattibili solo a posteriori.
Axpgn, qual è la tua soluzione?
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
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Re: Triangolo rettangolo

Messaggioda axpgn » 13/08/2019, 10:38

Ecco la mia allora … :D

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Siano $a$ e $b$ i cateti e $c=\bar(AB)$ l'ipotenusa data.

Disegno un semicerchio di diametro $\bar(AB)$.
Sappiamo che $sqrt(ab)=c/2$ cioè $4ab=c^2$ ma anche che $ab=ch$ dove $h$ è l'altezza relativa all'ipotenusa.
Da ciò $h=c/4$.
Tracciamo la parallela ad $\bar(AB)$ ad altezza $c/4$; la sua intersezione $C$ col semicerchio è il punto cercato.


Cordialmente, Alex

P.S.:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Direi che la soluzione di AleGa è come la mia ma con un "disegno" differente.
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Re: Triangolo rettangolo

Messaggioda giammaria » 13/08/2019, 14:25

Grazie mille; bellissima.
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
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