da Raff_321 » 19/08/2019, 14:22
Devo trovare in quanti modi $ 3^2*2^20 $ si può scrivere come prodotto di tre interi positivi, considerato che l'ordine in cui si presentano i fattori non conta. Ho pensato che le terne possono essere di due tipi: $ (9a_1,b_1,c_1) $ oppure $ (3a_2,3b_2,c_2) $ (questo perché altrimenti il loro prodotto non sarebbe multiplo di 9), ove $ a,b,c $ sono potenze di $ 2 $. Nel secondo caso ho posto $ c_2= 2^i, i=0,1,2,...,20 $, da cui ponendo $ a=2^k $ e $ b=2^s $, deve essere $ k+s=20-i $. Ho visto che per ogni $ i $ le soluzioni (distinte, ovvero a meno dell'ordine) a quest'ultima equazione sono $ [i/2] $, e quindi in tutto ho $ 1+1+2+2+...+10+10=2*(10*11)/2=10*11=110 $ soluzioni distinte del tipo $ (3a_1,3b_1,c_1) $. Ripetendo un analogo ragionamento per il primo gruppo di terne ho ottenuto lo stesso risultato, arrivando quindi a $ 220 $ terne. Il risultato è però $ 242 $ e non riesco a capire se c'è un errore di fondo nel ragionamento o se sto tralasciando (o addirittura contando due volte) qualcosa. Grazie mille in anticipo, e mi scuso se la categoria in cui ho inserito il quesito è sbagliata.