In quanti modi un numero si può scrivere come prodotto di tre interi positivi

[Raff_321]

Devo trovare in quanti modi $ 3^2*2^20 $ si può scrivere come prodotto di tre interi positivi, considerato che l'ordine in cui si presentano i fattori non conta. Ho pensato che le terne possono essere di due tipi: $ (9a_1,b_1,c_1) $ oppure $ (3a_2,3b_2,c_2) $ (questo perché altrimenti il loro prodotto non sarebbe multiplo di 9), ove $ a,b,c $ sono potenze di $ 2 $. Nel secondo caso ho posto $ c_2= 2^i, i=0,1,2,...,20 $, da cui ponendo $ a=2^k $ e $ b=2^s $, deve essere $ k+s=20-i $. Ho visto che per ogni $ i $ le soluzioni (distinte, ovvero a meno dell'ordine) a quest'ultima equazione sono $ [i/2] $, e quindi in tutto ho $ 1+1+2+2+...+10+10=2*(10*11)/2=10*11=110 $ soluzioni distinte del tipo $ (3a_1,3b_1,c_1) $. Ripetendo un analogo ragionamento per il primo gruppo di terne ho ottenuto lo stesso risultato, arrivando quindi a $ 220 $ terne. Il risultato è però $ 242 $ e non riesco a capire se c'è un errore di fondo nel ragionamento o se sto tralasciando (o addirittura contando due volte) qualcosa. Grazie mille in anticipo, e mi scuso se la categoria in cui ho inserito il quesito è sbagliata.

[axpgn]

Io ho fatto in modo diverso …

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Ho distribuito i venti $2$ su tre posizioni e questo si può fare in $44$ modi diversi (l'ho fatto a mano, non è lungo ), però vanno distinti i $33$ modi in cui ottieni tre numeri diversi dagli $11$ in cui ne ottieni solo due (Es. $12+5+3$ contro $12+4+4$).

Nel primo caso puoi piazzare i due $3$ in sei modi (tre coppie da due $3$ e tre volte il $3*3$) mentre nel secondo caso li puoi piazzare in quattro modi diversi (solo due coppie da due $3$ e solo due volte il $3*3$ in quanto due delle tre potenze di $2$ sono uguali)

Totale: $242$

IMHO

Cordialmente, Alex