La sfera tangente i tre spigoli di un triedro covesso

[Erasmus_First]

Nello spazio euclideo [tridimensionale] siano $a$, $b$ e $c$ tre semirette non complanari di origine comune $V$ e siano $φ$, $χ$ e $ψ$ gli angoli che hanno per lati una coppia delle dette tre semirette. Precisamente siano:
$φ = (b, c)$;
$χ = (c, a)$;
$ψ = (a, b)$.
Si consideri una sfera tangente a tutte tre le semirette. e si dicano:
$r$ il raggio della sfera ;
$d$ la comune distanza da $V$ di ciascuono dei tre punti di tangenza della sfera con le tre semirette.
Evidentemente il rapporto r/d dipende dai tre angoli $φ$, $χ$ e $ψ$

Determinare tale diprndrnza – diciamola $r/d = f(φ, χ, ψ)$ –.
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[Erasmus_First]

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Siccome $f(φ, χ, ψ)$ è una funzione di funzioni piuttosto complicata, conviene introdurre altri semboli.
Per esempio: detti A, B e C i punti di tangenza della sfera rispettivamente si possono indicare con a, b e c le lunghezze dei lati di ABC rispettivamente opposti ai vertici A, B e C. E in generale dare un opportuno nome alle funzioni didegli elementi geometrici che intervengono nell'espressione di $f(φ, χ, ψ)$.

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P.S. (sabato 24 agosto, h 12:22)
Non interviene proprio nessuno?
Nemmeno Alex e Giammaria?

[Erasmus_First]

Up!

P.S. (sabato 24 agosto, h 12:22)
Non interviene proprio nessuno?
Nemmeno Alex e Giammaria?

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[axpgn]

giammaria sicuramente ce la fa ma è troppo difficile per me: l'ho scritto varie volte che già fatico a visualizzare in 2D, in tre dimensioni non se ne parla proprio

EDIT: Questa può essere una strada? (comunque ho capito poco lo stesso )

[Erasmus_First]

[...] ho scritto varie volte che già fatico a visualizzare in 2D, in tre dimensioni non se ne parla proprio

Ma dai, Alex! Vedere tre semirette uscenti dal punto V esterno ad una sfera e tangnti la sfera non è mica difficile!

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Se da un punto fisso V tiri più tangenti ad una sfera fissa, i vari punti di tangenza distano ugualmente da V e stanno tutti su una circonferenza (quella che divide la superficie della sfera in due calotte delle quali quella visibile da V è di area minore dell'area di un emisfero).
Nel nostro caso, detti A, B e C i tre punti di tangenza [rispettivamente delle semirette a, b e c] e d la loro comune distanza da V, i lati del triangololo ABC valgono:
BC = $2dsin(φ/2)$ ; CA = $2dsin(χ/2)$; AB = $2dsin(ψ/2)$.
Noti, dunque, i lati di ABC, puoi trovare il raggio R del cerchio circoscritto ad ABC che è:

Codice:

       <Prodotto dei tre lati di ABC>
R = –––––––––––––––––––––––––––––
           <4 volte l'area di ABC>

Detto O il centro della sfera, il raggio R del cerchio circoscritto al triangolo ABC ( i cui vertici sono i punti di tangenza delle semirette sulla sfera) è l'altezza dei triangoli rettangoli uguali VAO, VBO e VCO rispettivamente rettangoli in A, B e C rispetto alla comune ipotenusa VO.
Pertanto i cateti OA, OB e OC sono tutti raggi della sfera, cioè di lunghezza r ; .e vale la proporzione:
$r/d = R/sqrt(d^2 – R^2)$.

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[Bokonon]

La sparo a intuito

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Affinchè tutte e tre le semirette siano tangenti alla sfera devono necessariamente appartenere ad un cono di vertice V. Se traccio il segmento CV che unisce il centro della sfera con il vertice, l'angolo $alpha$ formato fra il segmento e una qualsiasi delle semirette è identico e varia $0<alpha<pi/2$. Per $alpha->0$ la distanza CV diventa infinita. Per $alpha->pi/2$ la distanza CV tende a zero.

[axpgn]

@Erasmus
Premesso che tu stesso hai detto che "è una funzione di funzioni piuttosto complicata", figurati per me
Il fatto è che a posteriori le cose sembrano molto più evidenti di quello che invece sono a priori.

Per esempio fino a qui …

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… Vedere tre semirette uscenti dal punto V esterno ad una sfera e tangnti la sfera non è mica difficile! Se da un punto fisso V tiri più tangenti ad una sfera fissa, i vari punti di tangenza distano ugualmente da V e stanno tutti su una circonferenza (quella che divide la superficie della sfera in due calotte delle quali quella visibile da V è di area minore dell'area di un emisfero).

c'ero arrivato anch'io ma poi questo

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… BC = $ 2dsin(φ/2) $ ; CA = $ 2dsin(χ/2) $; AB = $ 2dsin(ψ/2) $.

io non l'ho visto (anche se concordo che non era difficile da notare).

E poi anche peggio …

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Questa formula

Codice:

       <Prodotto dei tre lati di ABC>
R = –––––––––––––––––––––––––––––
           <4 volte l'area di ABC>

non l'avevo mai vista

… e non è mica finita lì, c'è pure il resto

Ma il punto che vorrei sottolineare è un altro (a riguardo della facilità o meno di trovare una soluzione) ed è un punto di valore generale: forse (molto forse ) i singoli passaggi possono essere trovati e risolti (con maggior o minor difficoltà) se uno già conosce la strada da fare, ma se neppure la vede la strada, allora è dura, tanto tanto ... non so se mi sono spiegato

Cordialmente, Alex