Determinante $4 xx 4$

Messaggioda axpgn » 28/08/2019, 22:47

Sia $M$ una matrice $4 xx 4$, tale che ogni elemento sia pari a $2$ o a $-1$ (in pratica una qualsiasi "mescola" di $2$ e/o $-1$ a piacere :D ).
Sia $d$ il determinante di $M$; chiaramente $d$ è un intero.
Dimostrare che $d$ è divisibile per $27$.
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Re: Determinante $4 xx 4$

Messaggioda orsoulx » 29/08/2019, 10:44

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Si può dimostrare, per induzione, che il determinante di qualsiasi matrice quadrata di ordine $ n $ (con $ n>1 $), i cui elementi appartengano ad una progressione aritmetica di ragione $ r $, è multiplo di $ r^(n-1) $. Il quesito proposto è un caso particolare con $ n=4 " e " r=3 $

Ciao
Stephen Wolfram non mi è simpatico, anche perché il malefico Wolfram|Alpha non mi permette di credere che $ e^\pi=(640320^3+744)^(1/\sqrt(163)) $.
"Sono venticinque secoli che la filosofia inquadra i problemi, ma non scatta mai la foto.” - Edoardo Boncinelli, L'infinito in breve.
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Re: Determinante $4 xx 4$

Messaggioda axpgn » 29/08/2019, 12:35

Bentornato :D

Non avresti una soluzione "terra-terra" per noi mortali ? :-D

Cordialmente, Alex

P.S.: Riflettendoci, la soluzione "terra-terra" che ho, in pratica, è una dimostrazione di quella proprietà :D (e se non mi sbaglio, non mi serve neppure l'induzione)
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Messaggio: 14007 di 40641
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Re: Determinante $4 xx 4$

Messaggioda orsoulx » 29/08/2019, 13:41

Alex:
hai ragione. Si possono dimostrare (tanto il caso particolare, quanto quello generalizzato) anche in quest'altro modo:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Sottraendo una linea a scelta da tutte quelle parallele il determinante non cambia e, dopo la sottrazione, tutte gli elementi che non appartengono alla tale linea sono multipli di $ r $. Quindi ciascun addendo dello sviluppo completo del determinante, contenendo $ n-1$ fattori multipli di $ r $, sarà multiplo di $ r^(n-1) $ e tale risulterà anche la somma.

Leggendo il problema ho notato immediatamente l'altro percorso che, supponendo non sia "terra-terra", vola a bassa quota.
Ciao
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Re: Determinante $4 xx 4$

Messaggioda axpgn » 29/08/2019, 14:04

orsoulx ha scritto:… vola a bassa quota.
:lol:
Per i tuoi parametri, che sono ad altezza ISS :wink:

La mia è ancora un pochino più "bassa" :-D (dato che usa il caso particolare)

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Sottraggo la prima riga dalle altre tre; il determinante non cambia ma i termini possibili sono solo questi $3, 0, -3$ quindi divisibili per tre; ed infatti divido le tre righe per tre perciò il determinante originale è $3^3$ volte il determinante di quest'ultima matrice (che è anch'esso intero).

La proprietà che hai citato non mi pare tanto ovvia (a priori, ovviamente): l'hai trovata ora o la conoscevi già?
Così per curiosità ... :D

Cordialmente, Alex
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Messaggio: 14008 di 40641
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Re: Determinante $4 xx 4$

Messaggioda orsoulx » 30/08/2019, 08:32

@Alex:
non la conoscevo e, per la generalizzazione, mi ha aiutato il percorso con cui ho trovato la soluzione del tuo quesito.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
La proprietà è banalmente vera per $ n=1 $: ogni intero è multiplo di $ r^(1-1)=1 $.
Supposto la proprietà vera per un dato $ n $, per dimostrare che risulterà vera anche per $ n+1$ basta sottrarre da una linea qualsivoglia una linea ad essa parallela (operazione che non modifica il valore del determinante): tutte le differenze saranno multiple di $ r $, mentre il complemento algebrico di ciascun termine è, per l'ipotesi induttiva, multiplo di $ r^(n-1) $; quindi ogni addendo dello sviluppo di Laplace del determinante secondo quella linea risulta multiplo di $ r^(n-1) * r= r^n$ e tale sarà pertanto anche la somma.

Ciao
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