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Mi par di capire che se $a$, $b$, $c$ e $d$ sono tutti multipli pari di $n$ o tutti multipli dispari di $n$ oppure se le coppie $(a, d)$ e $(b, c)$ sono di multipli di $n$ uno pari e l'altro dispari , allra la prima uguaglianza è soddisfatta . E qualcosa di analogo vale per la seconda uguaglianza.
Ma immagino che ci siano soluzioni ben più furbe di queste (che io però non so trovare).

Forse – e sottolineo forse! – potrebbero servire ... che erano? Le formule inverse di quelle di prostaferesi? Boh!
Insomma, questa:
$cos(x)·cos(y) ≡ 1/2·{[cos(x)·cos(y) – sin(x)·sin(y)] + [cos(x)·cos(y) + sin(x)·sin(y)]} =$
$= 1/2·[cos(x+y) + cos(x-y)]$.
Per esempio, dalla 1ª uguaglianza si ha:
$cos(aπ/n)·cos(dπ/n) = cos(bπ/n)·cos(cπ/n)$ ⇔
⇔ $cos[(a+d)π/n] + cos[(a-d)π/n] = cos[(b+c)π/n] + cos[(b-c)π/n]$.

Ma adesso mi par di capire anche che queste scritture (con somme invece di prodotti di funzioni circolari) non mi aiutano ad andare più in là delle banali soluzioni che ho detto all'inizio.

Nella parte iniziale hai dimenticato che $ n $ deve essere maggiore delle altre variabili. La seconda parte è invece ben indirizzata verso il bersaglio: buona l'idea di affrontare una sola delle uguaglianze (la restante potrai sistemarla usando gli angoli supplementari), ottima quella di utilizzare le formule di Werner, prova ad applicarle ad un solo membro e sarai a cavallo.

I più piccoli valori possibili per $a,b,c,d,e,f$ vanno da 0 a 5, quindi deve essere $n>=6$.
$n=6$ non dà soluzioni perché una delle lettere deve valere 3 ed il corrispondente coseno sarebbe l'unico ad annullarsi.
E' invece soluzione $n=7$: con $a=1,b=6,c=2,d=5,e=3,f=4$ tutte le frazioni valgono $-1$. Quest'ultimo risultato può essere ottenuto scegliendo in qualsiasi modo la terna $a,c,e$ ed ottenendo di conseguenza l'altra terna. Il valore di $a$ può essere scelto in 6 modi, poi non potremo più usare né quel valore né $7-a$, quindi $c$ può essere scelto in 4 modi; analogamente ci sono 2 modi per scegliere $e$. Il numero di soluzioni possibili è quindi $6*4*2=48$