La targa

[axpgn]

Quando il professor Crivelli si recò alla stazione di Polizia per denunciare il furto della sua macchina nuova, non riusciva a ricordare il numero di targa.
"Quattro cifre, Ispettore" disse, "Questo lo so, ma non ne ricordo neppure una."
"Quattro cifre, eh?" disse il sergente Birretta, "Bene, è un inizio. Ma sarebbe meglio qualcosa di più definito, Signore."
Il viso del professore assunse un'aria assorta. "Aspetti", disse, "proprio ieri parlavo con mia nipote di fattori".
"Fattori?" interloquì il sergente Birretta.
"Sì", rispose il professore, "la mia targa ne ha parecchi, sa cosa voglio dire? Supponiamo che il mio numero di targa sia $n$ ..."
"$n$" disse il sergente, un pochino perplesso, prendendo comunque nota scrupolosamente.
"... supponiamo sia $n$" prosegui il professore. "Se $ax, by$ e $cz$ sono ciascuno eguali a $n$ allora $a, b$ e $c$ possono essere scelti in modo tale che $a+b+c=100$ e $x+y+z$ è un minimo ... in tal caso si nota che $x+y+z$ è uguale al prodotto di quattro numeri, tutti primi, e la somma di questi quattro numeri, fatto interessante, è uno più di $a$ e uno meno di $b$. E questo fatto, ne sono sicuro, ci porta ad un unico numero di targa".
"E cosa ci dice questo, Signore?" chiese il sergente Birretta, che nel frattempo aveva perso il filo per un attimo.
"Ma come?" fu la risposta sorpresa del professore "Se la trovi da solo, Birretta. Io le ho fornito tutti i dati!"
Che numero di targa aveva la macchina del professore?

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

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9240

Ciao

[axpgn]

Ottimo

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Però dovresti dirmi con quale procedimento ci sei arrivato perché la soluzione che ho io non l'ho compresa bene
Per essere precisi, l'autore dà per scontato alcuni passaggi che per me sono tutt'altro che ovvi
Allora per trovarla mi sono messo a fare un po' di calcoli (neanche così tanti come pensavo per la verità ).
Magari la tua è più semplice della sua.

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@Alex:

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Mah! Il problema porge informazioni varie e una prima difficoltà si incontra nel cercare l'ordine con cui è conveniente utilizzarle. Io ho iniziato con le più restrittive.
Detta $s$ la somma dei fattori primi di $ t=x+y+z $, da $ a+b+c=100; a=s-1; b=s+1 $ si ricava $ c=2*(50-s); 8<=s<=49 $.
$ n $ deve essere multiplo di $ a, b $ e $ c$, quindi se $ m=mcm(a,b,c) $ sarà $ n=m cdot k $ con $ k $ intero positivo; si può allora operare con $ m $ al posto di $ n $, trovare, per ogni $ s $, i tre quozienti $ x',y',z' $ e scomporre in fattori primi la lori somma $ t' $. Se questi fattori sono meno di $ 5 $ e hanno somma $ s'<=s $, si può tentare di esprimere $ d = s-s' $ come somma di primi in numero adeguato per ottenerne un totale di $ 4 $ con quelli precedentemente trovati. Se ci riusciamo, per ottenere la targa desiderata, basterà verificare che, con $ k $ uguale al prodotto degli addendi di $ d $, sia $ 1000<=m cdot k<10000 $ [anche se questa ricetta è più facile da eseguire che da descrivere, qualora fosse quella più semplice, non si potrebbe biasimare un educato: «allora se la cerchi lei», rivolto dal sergente Birretta all'esimio Crivelli].
Con un foglio di calcolo il quesito si risolve in due minuti, ma i masochisti come me preferiscono usare carta e matita; l'unica rottura è il calcolo di $ t' $ e la sua fattorizzazione. Probabilmente esiste una via più rapida utilizzando l'informazione che $ t $ è un minimo ma, ricordando poco dei giochini sulle varie medie, ho solo semplificato un po' il calcolo di $ t' $ e, con discreta fortuna, al quarto tentativo mi sono imbattuto nella soluzione.
Se $ s $ è pari, $ a $ e $ b $ sono coprimi ed allora, detti $ a', b', c' $ quel che resta eliminando da $ a,b,c $ tutti i fattori in comune è $ t'=2sc'+a'b' $, senza calcolare $ m $.
Se $ s $ è dispari $ a, b, c $ sono pari; dividendo ciascuno per $ 2 $ si ricade nella situazione precedente con $ s $ al posto di $ 2 s $. Bisogna solo ricordarsi del fattore $ 2 $ eliminato qualora si giunga al calcolo di $ n $.
Ho cominciato con i valori dispari di $ s $, allontanandomi progressivamente dal valore $ s=33 $: il famoso 'minimo', non ho capito rispetto a cosa, dovrebbe stare da quelle parti.

$ s=33; a/2=16, b/2=17, c/2=17; t'= 33+16=49=7 cdot 7 $, due fattori con $ s'=14; d=33-14=19=2+17; k=34$, ma $ m k = (16 cdot 17 cdot 2) cdot 34 $ è troppo grande: ha cinque cifre.

$ s=31; a/2=15, b/2=16, c/2=19; t'=31 cdot 19+15 cdot 16=829 $, che resiste ai tentativi di scomposizione fino a $ 17 $: si supererebbe $ s $.

$ s=35; a/2=17, b/2=18, c/2=15; t'=35 cdot 5+17 cdot 6=277 $, numero primo maggiore di $ s $.

$ s=29; a/2=14, b/2=15, c/2=21; t'=29+10=39=3 cdot 13 $, due fattori con $ s'=16; d=29-16=13=2+11; k=22; m k= (14 cdot 15 cdot 2) cdot 22=9240= n$.

Per verificare che il problema fosse ben formulato ho usato il foglio di calcolo di GeoGebra, trovando altri due valori di $ s $ che conducono a $ s'<=s $; uno dispari:

$ s=47, a/2=23, b/2=24, c/2=3; t'=47 + 23 cdot 8=231=3 cdot 7 cdot 11 $, tre fattori con $ s'=21; d=47-21=26$ non è accettabile, perché serve un solo ulteriore addendo e $ 26 $ non è primo. L'altro pari:

$ s=38; a=37, b=39, c=24; t'=76 cdot 8+37 cdot 13=1089=3 cdot 3 cdot 11 cdot 11 $, quattro fattori con $ s'=28; d=38-28=10 $, ma è esaurita la possibilità di ulteriori addendi.

Ciao

[axpgn]

@orsoulx

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Dunque … mi sembra che i calcoli che ho fatto quando mi sono stufato nel tentar di capire la soluzione "ufficiale" seguano una strada simile a quella che hai descritto ma in modo più brutale, usando Excel come calcolatrice per le quattro operazioni.
In pratica, parto da quattro primi, ne calcolo la somma $S$ e il prodotto $P$, quindi ricavo $a, b$ e $c$, i loro inversi, la somma degli inversi, il peso degli inversi sulla loro somma che moltiplico per il prodotto $P$ in modo da ottenere gli pseudo $x, y, z$ e se tutto torna (i tre prodotti sono uguali a $n$, eventualmente provando ad "aggiustare" $x, y, z$) allora ho trovato la soluzione.
Pensavo fosse una cosa molto lunga ma dopo poco più di una decina di casi ero arrivato a meta (si arriva in fretta a cinque cifre). Ho proseguito per verificare (molto velocemente, in verità ) che non ce ne fossero altre e non ne ho trovate.

Se ora hai pazienza, riporto il metodo dell'autore (che sicuramente non ha usato computer perché erano gli anni cinquanta, più o meno … )

Sia $S$ la somma dei primi e $P$ il loro prodotto.
Quindi $a=S-1$, $b=S+1$, $c=100-2S$.
Abbiamo la seguente equazione $n[1/(S-1)+1/(S+1)+1/(100-2S)]=P$

L'equazione si riduce a $n(200S-3S^2-1)=P(S-1)(S+1)(100-2S)$

Ora, ogni fattore di $(200S-3S^2-1)$ e di $(m-1)$ è anche un fattore di $(200S-3S^2-1)+(3S-1)$ cioè di $196S$ (perché ? Nota mia :D )
Inoltre dato che $196=4*49$ e $204=4*51$, i soli fattori di $(200S-3S^2-1)$ che possono occorrere in $(S-1)(S+1)(100-2S)$ sono $3, 4, 7, 17$, gli altri fattori vanno cercati in $P$, in cui quello più grande è $37$ (idem come sopra e pure il resto … ma continuo ... ).
Quindi testando i valori di questa espressione per i valori di $S$ da $17$ a $47$, rigettiamo al volo tutti quelli con fattori primi maggiori di $37$.
I fattori primi di quelli che rimangono conterranno qualcuno o tutti i fattori di $P$.
Ne viene fuori che l'unico possibile valore di $S$ è $29$, che porta a $(200S-3S^2-1)=3276=4*7*9*13$.
Di questi fattori, $3, 4, 7$ sono divisori di $(S-1)(S+1)(100-2S)$.
Due dei fattori di $P$ devono essere $3$ e $13$; gli altri possono essere solo $2$ e $11$ dato che $S=29$.
Quindi la targa è $9240$.

Che ne pensi?

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@Alex

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(che sicuramente non ha usato computer perché erano gli anni cinquanta, più o meno … )

Però erano disponibili tavole: dei numeri primi, delle fattorizzazioni....

La soluzione che riporti contiene sicuramente delle imprecisioni ed è carente di spiegazioni essenziali: ad esempio nel primo brano che 'commenti' non viene definito $ m $ e manca un fattore $ S-1 $ che dovrebbe moltiplicare $ 3S-1$.
Il signor XY segue un procedimento parallelo al mio: entrambi cerchiamo, al variare di $ S $, quali sono i fattori che devono necessariamente comparire in $ P $, per poi provare, nei rari casi in cui la loro somma sia non maggiore di $ S $, a completare la fattorizzazione partendo dalla somma (ormai nota) degli eventuali fattori mancanti.
XY utilizza direttamente $ S-1, S+1, 100-2S $ che forniscono $ 200S-3S^2-1 $, lo fattorizza, e successivamente elimina quei fattori che compaiono in almeno un denominatore; io ho eliminato prima i fattori comuni ad almeno due denominatori.
XY dovrà spesso fattorizzare numeri più grandi che ottiene, però, in maniera decisamente più agevole ( i valori di $ 200S-3S^2-1 $ si possono ricavare in successione mediante una somma ed una differenza con operandi assai piccoli). Nulla di più mi è comprensibile.

XY scrive $ S>=17 $ ed è $ 17=2+3+5+7 $; se sono ammessi solo fattori distinti ed eliminiamo le due condizioni 4-limitanti, sul numero dei fattori/addendi e sulle cifre di $ n $, quante sarebbero le soluzioni possibili?
Ciao

[axpgn]

@orsoulx

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Però erano disponibili tavole: dei numeri primi, delle fattorizzazioni …

Vero.
Ogni tanto dimentico che prima dell'avvento dei computer, la gente si era ingegnata parecchio per semplificare i calcoli e ha inventato tante tecniche che ora tendono a scomparire perché non servono più (non le usiamo più).

La soluzione che riporti contiene sicuramente delle imprecisioni ed è carente di spiegazioni essenziali: ad esempio nel primo brano che 'commenti' non viene definito $ m $ e manca un fattore $ S-1 $ che dovrebbe moltiplicare $ 3S-1 $.

L'imprecisione è colpa mia: ho scritto $m$ invece di $S$ mentre la carenza di $S-1$ probabilmente è un refuso del libro; ora che mi fai notare la mancanza diventa chiaro perché è divisibile per $196S$ e conseguentemente anche il resto mi è più comprensibile
Grazie

Come nota di "colore": non ricordo né il titolo né l'autore però rammento che era una raccolta di problemi pubblicati negli anni '50 su giornali come il Daily Telegraph

Per il tuo rilancio ci proverò (quando lo avrò capito bene )

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Dunque, se ho compreso bene, intendi dire che $n$ può avere un numero di cifre qualsiasi, i numeri primi che danno $S$ e $P$ possono essere in quantità diversa da $4$ purché distinti e i restanti vincoli rimangono gli stessi; giusto?

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In tal caso avrei trovato solo un altro numero di targa e cioè $209760$

Abbiamo $2*3*5*7*11*19=43890=4560+4370+34960=x+y+z$

Abbiamo anche $2+3+5+7+11+19=47$ da cui $a=46, b=48, c=6$ ovvero $a+b+c=46+48+6=100$

Infine $46*4560=48*4370=6*34960=209760$

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@Alex:
(il secondo emoticon è per avermi compreso! )

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Credo di aver capito quasi tutta la soluzione di XY, e un secondo indizio (pone a $ 37$ il maggior fattore accettabile in $ P $) rafforza la mia convinzione che, senza dirlo, e questo è cosa non buona, intendesse fattori primi distinti.
In questo caso mi pare più simpatico eliminare le due condizioni (4 fattori, 4 cifre) ed escludere una delle due soluzioni con una informazione sulla 'targa' vista, ad esempio: non c'erano cifre uguali, ricordo un $ 7 $.

Ciao