axpgn ha scritto:Erasmus [...] hai postato di nuovo lo stesso messaggio ? ?
Sì. Me ne accorgo solo adesso (essendo tornato per dire ora qualcosa di nuovo).
Il fatto è che qui il mio computer oppure Internet o tutt'e due ogni tanto hanno delle malfunzioni (di cui mi accorgo a fatti già avvenuti ... che mi restano incompresi ed incomprensibili).
Nel tuo messaggio successivo al mio primo intervento mi chiedevi un parere sulle soluzioni postate da te. Beh: il parere non l'avevo perché dopo aver iniziato a leggiuchiarle mi sono perso in altri pensieri ... e ho lasciato perdere,
E ancora non ho alcuna intenzione di andare a leggerle (e decifrarle ... perché non è detto che riesca a seguirne il ragionamento con la semplice lettura).
Nel tuo messaggio successivo al mio secondo intervento, tu mi riveli che una delle due dimostrazioni
postate da te è di Schwarz (quello della
disuguaglianza di Cauchy-Schwarz) . Ehh ... non mi metto ,certo io, umile dilettante "amatoriale", a disquisire con giganti della matematica!
Allora: non conoscendo la proprietà di questo triangolo e tantomeno che ha scoprirla sono stati i giganti matematici dell'800, mi compiaccio di averla trovata autonomamente e, soprattutto, con una banale applicazione di meccanica razionale!
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Quello di nuovo che volevo dire è qualcosa che ho imparato risolvendo questo quiz (e che in sé non ha nulla a che fare con il perimetro). Qualcosa a cui non avevo mai pensato (benché sia stato insegnante di matematica in Licei, in istituti tecnici e – seppur per poco tempo – anche in altri tipi di scuola).
Permettimi, Alex, una introduzione a quello che sarà il
clou di questo mio ulteriore intervento .
Al ginnasio (mi pare in VIª, corrispondente alla 1ª liceo scientifico, ma forse era in Vª ginnasio), prima si dimostrava che gli assi di un triangolo passavano tutti tre per uno stesso punto equidistante dai vertici (e detto "circocentro"). Poi si dimostrava che anche le tre rette delle altezze passavano per uno stesso punto, (detto "ortocentro"); e questa proprietà si ricavava mostrando che le rette delle altezze erano gli assi di un altro triangolo ottenuto tracciando per ciascun vertice del primo la parallela al lato opposto. Riassumendo: l'ortocentro c'è perché è lo stesso circocentro d'un altro triangolo. Poi si dimostrava indipendentemente da tutto ciò che anche le bisettrici degli angoli interni d'un riangolo passavano per uno stesso punto (equidistante dai lati e detto "incentro").
1) Ora, però, veniamo a scoprire che
l'ortocentro di un triangolo ABC acutangolo è anche incentro del triangolino che ha per vertici i piedi delle altezze di ABC sui lati AB, BC e CA di ABC.
Sia O l'ortocentro di ABC.
2) Se ABC è ottusangolo in C, I piedi delle altezze relative ad AC e a BC cascano fuori del triangolo, come pure il suo ortocentro O.
Allora, però, è acutangolo il triangolo ABO e il suo ortocentro è C.
I piedi delle altezze relative al nuovo triangolo ABO sono gli stessi piedi delle altezze di ABC sulle rispettive rette AB, BC e CA e sono i vertici di un triangolo il cui incentro è C.
3) Se ABC è acutangolo ed O è il suo ortocentro, allora il triangolo ABO è ottusangolo in O e il suo ortocentro è C
Insomma: Detto O l'ortoocentro di ABC – che se ottusangolo supponiamo esserlo in C – c'è una specie di dualità tra i triangili ABC e ABO.
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Se uno dei due triangoli ABC e ABO è acutangolo l'altro è ottusangolo. Siano poi D su BC, E su CA ed F su AB i piedi delle altezze di ABC sui suoi lati (o sui prolungamenti dei suoi lati).
Allora D, E ed F sono pure i piedi delle altezze di ABO sui rispettivi lati (o prolungamenti).
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Due altezze di ABC sono due lati di ABO e due altezze di ABO sono lati di ABC •
L'incentro di DEF è l'ortocentro del triangolo acutangolo e vertice dell'angolo ottuso del triangolo ottusangolo.________
P.S. (Lunedì 11/11/2019 ore21:42)
Edito per aggiungere questa immagine come illustrazione dell'regomento del mio intervento
Ultima modifica di
Erasmus_First il 11/11/2019, 21:58, modificato 3 volte in totale.