Piedi delle altezze

[giammaria]

Nel triangolo acutangolo $ABC$ sia $H$ il piede dell'altezza relativa ad $AB$ e siano $D,E$ i simmetrici di $H$ rispetto ad $AC, BC$; sia poi $K$ l'intersezione di $AC$ e $DE$. Dimostrare che $BK$ è perpendicolare ad $AC$.

Con l'analitica ho verificato l'affermazione data ma, almeno per ora, non riesco a darne una dimostrazione sintetica e chiedo aiuto.

[giammaria]

Nessuno risponde, ma ho finalmente trovato la dimostrazione di un enunciato concettualmente coincidente con quello dato ma formulato diversamente, e cioè
Dette $CH, BK, AL$ le altezze del triangolo acutangolo $ABC$ e detti $D,E$ i simmetrici di $H$ rispetto ad $AC, BC$, dimostrare che $D,E$ stanno sulla retta $KL$.
Il problema resta aperto per chi voglia dare una dimostrazione senza cambi di enunciato.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Premessa. In "Piedi delle altezze 2" è stato dimostrato che congiungendo i piedi di due altezze di un triangolo acutangolo si delimita un triangolo simile al precedente. Aggiungo che il verso in cui gli angoli si susseguono passa da orario ad antiorario e viceversa; là era dimostrato ma non detto esplicitamente.
Dimostrazione. Posto come al solito $beta=AhatBC$, per la proprietà indicata si ha $AhatKH=beta$ e $ChatKL=beta$, quindi $HhatKL=pi-AhatKH-ChatKL=pi-2beta$
Per la simmetria, $AC$ dimezza il triangolo $DKH$, quindi $DhatKH=2AhatKH=2beta$, perciò i due angoli calcolati sono supplementari fra loro e ne consegue che i punti $D,K,L$ sono allineati. Dimostrazione analoga per $E$.