$7$ spigoli

[axpgn]

Perché un poliedro non può avere esattamente $7$ spigoli?

Perché può averne un qualsiasi altro numero intero maggiore di cinque?

Nello spazio tridimensionale.




Cordialmente, Alex

[mmdem]

Ecco qui

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Prima parte: se il poliedro ha una faccia quadrilatera, nei suoi vertici si incontrano al minimo 8 spigoli. Quindi per fare meno di 8 spigoli non dobbiamo avere facce quadrilatere (e, a maggior ragione, con n > 4 lati). Il poliedro deve avere le facce triangoli. Se abbiamo n facce, dato che ogni spigolo appartiene a due facce, risulta che il numero di spigoli di tale poliedro è 3n/2 (ed n risulta necessariamente pari), e multiplo di 3. Tre "spigoli" non fanno un poliedro, con 6 spigoli abbiamo il tetraedro (prisma triangolare) e poi si passa a 9 (>7).

Seconda parte: si possono costruire poliedri piramidali con qualsiasi numero pari di spigoli a partire da 6 (aumentando il numero di lati della base). Inoltre, i numeri dispari di spigoli si possono generare aggiungendo un vertice in più ad una faccia triangolare e facendola diventare piramide (con l'aggiunta di 3 lati). Quindi abbiamo 6+3 = 9, 8+3 = 11, ecc.

[axpgn]

Bene!

Ecco la mia versione (simile alla tua) …

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Da un poligono di $n$ lati posso costruire una piramide di $2n$ lati, unendo i vertici del poligono di base ad un punto esterno al piano di base.
Da questa piramide posso ottenere un poliedro di $2n+1$ lati piegando il poligono di base lungo una delle sue diagonali.
Con questo metodo posso costruire poliedri da sei spigoli in su tranne quello da sette perché un triangolo non ha diagonali.
Potrebbe però esistere un'altra procedura …
E allora: ogni spigolo collega due vertici di un poliedro; da ogni vertice partono almeno tre spigoli.
Un poliedro come minimo ha quattro vertici (tre punti stanno sempre su un piano) per cui ha, come minimo, $(4 xx 3)/2=6$ spigoli, che sono anche il massimo perché ogni vertice è collegato a tutti gli altri.
Il poliedro "successivo" con cinque vertici ha come minimo $(5 xx 3)/2=7.5 > 7$ vertici.

Cordialmente, Alex