Dimostrazione per induzione (?)

[3m0o]

Vi propongo il seguente esercizio

Siano \( \ell_1, \ldots, \ell_n \) con \( n \geq 2 \) delle rette distinte nel piano, tale che comunque scelte due rette non sono parallele. Allora queste rette hanno un punto in comune.

"Dimostrazione" per induzione
Per \( n = 2 \) abbiamo che siccome date due rette non parallele si intersecano in un unico punto.

Supponiamo che l'enunciato sia vero per \(n=n_0 \), dobbiamo dimostrare che è vero per \(n = n_0 +1 \). Pertanto siano \( \ell_1, \ldots, \ell_n \) delle rette come da ipotesi. Per ipotesi induttiva abbiamo che le rette \( \ell_1, \ldots, \ell_{n-1} \) si intersecano in un punto comune, chiamiamolo \( x \).
Analogamente abbiamo che \( \ell_1, \ldots, \ell_{n-2}, \ell_n \) si intersecano in un punto comune, chiamiamolo \( y \). Siccome \( \ell_1 \) e \( \ell_{n-2} \) appartengono ad entrambi i gruppi di rette abbiamo che \( \ell_1 \) e \( \ell_{n-2} \) contengono sia \( x \) che \( y \). Siccome \( \ell_1 \) e \( \ell_{n-2} \) si intersecano in un solo punto abbiamo forzatamente che \( x=y \). Pertanto tutte le rette \( \ell_1, \ldots, \ell_n \) hanno un punto in comune, chiamato \(x \).

Ovviamente è facile trovare un controesempio pertanto dev'esserci un errore nella suddetta "dimostrazione", quale?

[axpgn]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Perché non funziona per $n=3$ … è come quello dei "cavalli bianchi" ovvero tutti i cavalli sono bianchi (o neri o … )

Cordialmente, Alex

[Shadowmaster2000]

Perché nella dimostrazione stai usando $l_1$ e $l_(n-2)$ come se fossero due rette distinte, quindi stai supponendo $n-2>1$, quindi $n>3$. Addirittura bisognerebbe fare il passo base per $n=4$.

[Settevoltesette]

Anche secondo me è come ha detto Shadowmaster2000 la dimostrazione fila perché per n = 2 funziona, e tu ti puoi riportare al caso di 2 rette anche se ne hai segnate molte.

[axpgn]

No, il passo base (ovvero per $n=2$) funziona; se prendi due rette distinte non parallele si incontrano in un punto.
È il passo induttivo che non va; la dimostrazione del passo induttivo deve funzionare per qualsiasi $n$ ma invece fallisce per $n=3$
Nella dimostrazione di 3m0o quando $n=3$ le rette $l_1$ e $l_(n-2)$ sono la stessa retta e quindi non è vero che "si intersecano in un solo punto"

Cordialmente, Alex

[Settevoltesette]

Hai detto la stessa cosa

[axpgn]

Non ti capisco: dici che la dimostrazione fila però concordi con shadowmaster2000 che afferma il contrario?

[Settevoltesette]

Non intendo che é giusta per n>2 dico solo che quel passaggio viene perché per n=2 è vero, come dice appunto Shadowmaster2000