Vi propongo il seguente esercizio
Siano \( \ell_1, \ldots, \ell_n \) con \( n \geq 2 \) delle rette distinte nel piano, tale che comunque scelte due rette non sono parallele. Allora queste rette hanno un punto in comune.
"Dimostrazione" per induzione
Per \( n = 2 \) abbiamo che siccome date due rette non parallele si intersecano in un unico punto.
Supponiamo che l'enunciato sia vero per \(n=n_0 \), dobbiamo dimostrare che è vero per \(n = n_0 +1 \). Pertanto siano \( \ell_1, \ldots, \ell_n \) delle rette come da ipotesi. Per ipotesi induttiva abbiamo che le rette \( \ell_1, \ldots, \ell_{n-1} \) si intersecano in un punto comune, chiamiamolo \( x \).
Analogamente abbiamo che \( \ell_1, \ldots, \ell_{n-2}, \ell_n \) si intersecano in un punto comune, chiamiamolo \( y \). Siccome \( \ell_1 \) e \( \ell_{n-2} \) appartengono ad entrambi i gruppi di rette abbiamo che \( \ell_1 \) e \( \ell_{n-2} \) contengono sia \( x \) che \( y \). Siccome \( \ell_1 \) e \( \ell_{n-2} \) si intersecano in un solo punto abbiamo forzatamente che \( x=y \). Pertanto tutte le rette \( \ell_1, \ldots, \ell_n \) hanno un punto in comune, chiamato \(x \).
Ovviamente è facile trovare un controesempio pertanto dev'esserci un errore nella suddetta "dimostrazione", quale?