axpgn ha scritto:Qual è il valore massimo assunto dalla somma dei seni dei tre angoli di un triangolo?
Dimostrazione.
Ho fatto una mia dimostrazione prima di leggere quella di orsoulx (che riconduce il problema a trovare il triangolo a pertimetro massimo tra quelli inscritti nello stesso cerchio).
Se però si accetta che la ricerca degli estremanti di una funzione continua e derivabile si facia annullando la derivata, a me pare che sia più semplice lavorare direttamente sulle funzioni seno e coseno (degli angoli del triangolo).
Fissato un angolo (ovviamente tra 0 e π esclusi), col metodo dell'annullamento della derivata si trova subito che il massimo della somma dei seni si ha quando gli altri due angoli sono uguali. Siano questi di ampiezza α. Allora il terzo angolo è di ampiezza π-2α; e con il metodo dell'annullamento della derivata si trova che deve essere cos(α) = 1/2.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Sia fissato γ (con valore qualunque tra 0 e π esclusi). Allora β = π -(α+ γ) per cui
$sin(β) = sin[π-(α+γ)] = sin(α+γ) = sin(α)·cos(γ)+cos(α)·sin(γ)$
e la somma dei seni viene
$sin(α)·[1+cos(γ)] + cos(α)·sin(γ) +sin(γ)$.
Annullando la derivata rispetto ad α si trova:
$sin(α)/cos(α) =[1+cos(γ)]/sin(γ) = cos(γ/2)/sin(γ/2) = sin((π-γ)/2)/cos((π-γ)/2)$
ossia
$α=(π -γ)/2$
e quindi
$β = π -(π - γ)/2- γ = (π - γ)/2 = α$.
Con ciò, posto $γ=2x)$, la somma dei seni diventa
$2sin((π - γ)/2) + sin(γ) = 2cos(x)+2sin(x)cos(x)$ .
Annullando la derivata si ha:
$-sin(x) + cos^2(x) – sin^2(x) = 0$ ⇔ $2sin^2(x) + sin(x) -1 = 0$ ⇔ $sin(x) = (–1±3)/4$
Dovendo essere anche $sin(x) >0$ è senz'altro $sin(x) = 1/2$ ossia
$sin(γ)= (sqrt3)/2$.
In un triangolo rettangolo isoscele la somma dei seni degli angoli vale $1 + sqrt2$, e in un triangolo ottusangolo isoscele vale di meno di così.
Dunque l'angolo γ è acuto ed allora $sin(γ)= (sqrt3)/2$ vuol dire $γ=π/3$.
Con ciò, essendo $α = β = (π – γ)/2$, risulta pure $α = β = π/3$.
Sicché il triangolo con la massima somma dei seni degli angoli è il triangolo equiangolo e la somma dei seni dei suoi angoli è ovviamente
$3·sin(π/3) = 3sqrt3/2$
-––---