Dividere per $11$

[axpgn]

Determinare tutti i numeri $N$ di tre cifre che siano divisibili per $11$ e tali che $N/11$ sia pari alla somma dei quadrati delle cifre di $N$.

Cordialmente, Alex

[superpippone]

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Ne ho trovati solo due: $550$ e $803$.

[axpgn]

@superpippone
Ok,

Ma come li hai trovati? Secondo un ragionamento algebrico?

Cordialmente, Alex

[superpippone]

Alex: non pretendere troppo da me!
Ho passato tutta la tabellina dell' $11$ da $110$ a $990$......

[axpgn]

Ok, va benissimo

Ma se aveste solo carta e penna e dieci minuti di tempo (o anche cinque, come alle Olimpiadi) come fareste?

Cordialmente, Alex

[@melia]

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Ho provato utilizzando il criterio di divisibilità per 11. Posto $N=100a+10b+c$ il criterio dice che ci sono 2 possibilità
$a+c=b$ oppure $a+c=11+b$
Il primo caso $a+c=b$ viene subito, risolto in $a$ dà un'equazione di secondo grado il cui discriminante è positivo solo se $-1/6<c<1/2$ per cui $c=0$ e $a=5$
Il secondo caso è un po' più calcoloso, il procedimento sopra non porta da nessuna parte, bisogna provare tutti i possibili valori per $c$ dentro all'equazione di secondo grado

[axpgn]

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Sostanzialmente è la soluzione che ho io … si può stabilire che $c$ è dispari e testarlo solo nel discriminante, accorciando un po' …

Cordialmente, Alex