Spakint 4 Vs 5

[orsoulx]

Definiamo spaccarello (per gli amici spak) un poligono, convesso non degenere, inscritto in una circonferenza, con almeno una diagonale che coincide con un diametro della stessa. Uno spakint è uno spak con tutti i lati di lunghezza intera (in una opportuna unità di misura) e tale che almeno un lato non sia congruente con alcun altro. Gli spakint con un assegnato numero di lati vengono ordinati confrontando prima il loro lato maggiore, proseguendo, in caso di parità, con il maggiore dei rimanenti e così via; due spakint che 'pareggiano' sono considerati uguali anche se possono essere disegnati in maniera diversa.
Potete giocare, a vostra scelta, con i quadrilateri o i pentagoni, e puntare su razionale o irrazionale. Verrà estratto, a caso, un numero fra $1$ e $1000$, se il diametro della circonferenza circoscritta allo spakint corrispondente ha misura del tipo che avete puntato vincete un numero di euro pari al perimetro del medesimo.
Ad esempio, se giocate con i quadrilateri, puntate su irrazionale e viene estratto il numero $ 1 $; essendo, salvo errori, $ 7, 5, 5, 1 $ il primo quadrilatero spakint, il diametro della circonferenza circoscritta misura $ 5 sqrt 2 $ e quindi vincete $ 18 $ euro.
Come giochereste?
Ciao
PS Se ritenete più semplice giocare con gli esagoni spakint, potete farlo.

[axpgn]

Non ho capito bene: il numero estratto è il numero d'ordine dei quadrilateri o corrisponde ad un suo lato?
Credo di aver capito il criterio di ordinamento ma l'ordine è crescente o no?
Per esempio tra il tuo quadrilatero e questo $41, 29, 29, 1$ quale viene prima?

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Comunque, per riordinare un po' le idee e vedere se almeno ho capito il problema …

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Usando i quadrilateri inscritti, se una diagonale è anche diametro allora è anche ipotenusa di due triangoli rettangoli.
Ora un numero intero può fungere da ipotenusa in una terna pitagorica primitiva solo se i suoi fattori primi sono della forma $4n+1$, dando luogo a $2^(m-1)$ terne pitagoriche primitive dove $m$ è il numero di fattori primi della forma $4n+1$; mentre se possiede $r$ fattori primi della forma $4n-1$ allora genererà $q=((2e_1+1)(2e_2+1)...(2e_r+1)-1)/2$ terne pitagoriche dove gli $e_i$ sono gli esponenti degli $r$ fattori primi.

Perciò mi verrebbe da dire che le ipotenuse irrazionali siano di più … … ma siccome deve essere $l_1^2+l_2^2=l_3^2+l_4^2$, non ho proprio idea di quante "doppie coppie" del genere diano ipotenuse irrazionali (come quella dell'esempio).

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@Alex
Se l'ordine fosse decrescente sarebbe mooolto arduo trovare il "primo quadrilatero spakint" come detto nell'esempio.

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Data la proverbiale perfidia, un problema scritto da me è farcito di distrattori poco utili, mescolati ad indizi nascosti. Non è necessario enumerare gli spakint irrazionali o razionali; un approccio spannometrico basta per arrivare alla, credo sorprendente, soluzione.
Tanto per intorpidire le acque, ti posso suggerire che, per i quadrilateri, da ogni irrazionale con lati tutti diversi si può ricavare un razionale con la stessa tecnica usata per generare le terne pitagoriche. Però....

Ciao

[axpgn]

Se l'ordine fosse decrescente sarebbe mooolto arduo trovare il "primo quadrilatero spakint" come detto nell'esempio.

Difatti mi sembrava un po' difficile partire dall'infinito e scendere …

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Tanto per intorpidire le acque, ti posso suggerire che, per i quadrilateri, da ogni irrazionale con lati tutti diversi si può ricavare un razionale con la stessa tecnica usata per generare le terne pitagoriche.

Questo lo sapevo (vedi il problema del quadrato riempito di isosceli dove da cateti razionali si ottengono ipotenuse irrazionali e viceversa), il problema è capire come usarlo (e se usarlo )

Cordialmente, Alex

[axpgn]

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Dunque, ricapitoliamo …

Considero i quadrilateri inscritti in una circonferenza con una diagonale che è anche un diametro della circonferenza.
La conseguenza è che la diagonale divide il quadrilatero in due triangoli rettangoli ed è anche l'ipotenusa di questi triangoli.
Perciò il quadrato dell'ipotenusa è la somma di due quadrati perfetti (perché i cateti sono interi) in due modi diversi.
Indagando su quasi un centinaio di questo tipo di ipotenuse ne ho trovata solo una di misura intera $25^2=7^2+24^2=15^2+20^2$.

Sbaglio qualcosa?

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@Alex

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Non mi pare che tu stia sbagliando. Non so come hai condotto la ricerca, ma i quadrilateri spakint con diagonale razionale dovrebbero essere 'rari' rispetto agli altri, grosso modo come i quadrati sono rari rispetto agli interi non quadrati.

Ciao

[axpgn]

@orsoulx

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Ho costruito una tabella $25 xx 25$ riempita con tutti i quadrati $c^2=a^2+b^2$.
Dei poco più di trecento che ho così ottenuto, circa un centinaio sono "doppi" (cioè generati da coppie diverse di cateti): di questi solo uno ($625$) era un quadrato perfetto.

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@Alex

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Se non sbaglio, conti le ipotenuse 'doppie' due volte mentre $ 625 $ una volta sola. Non è equo; diciamo che il rapporto è circa $ 1/50 $. Come già detto da ciasqun quadrilatero spakint con diagonale irrazionale (senza ripetizioni nei lati) puoi trovarne uno con diagonale intera applicando la tecnica per la costruzione di terne pitagoriche.
Es. da $ 8, 7, 4, 1 $ con $ 65=8^2+1^2=7^2+4^2 $ passi a $ 63, 56, 33, 16 $ con $ 65^2=63^2+16^2=56^2+33^2 $.
Comunque non ha molta importanza e potrai utilizzare i risultati nel costruire pentagoni spakint.

Ciao

[axpgn]

@orsoulx

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Se non sbaglio, conti le ipotenuse 'doppie' due volte mentre $ 625 $ una volta sola.

No, una tabella $25 xx 25$ ha $625$ entrate che sono tutte doppie per via della commutatività (tranne quelle sulla diagonale); io ho considerato solo quelle di una metà più la diagonale (se non ho sbagliato i conti dovrebbero essere $325$); tra queste, grosso modo un centinaio sono veramente doppie, cioè con cateti diversi, e solo una di queste è una ipotenusa intera.
Io penso che il (mio) campione sia troppo piccolo per "misurare" la frequenza però sufficiente per capire la "supremazia" di un tipo verso l'altro.

Cordialmente, Alex