$n$-agoni regolari di Reuleaux

[gugo82]

Cominciamo con una definizione che serve a chiarire il titolo del thread:

Fissato un numero $n in NN$ dispari, si chiama $n$-agono regolare di Reuleaux un poligono "curvilineo" costruito come segue:

• si disegna un $n$-agono regolare di vertici $A_1... A_n$ e, da ogni suo vertice, si tracciano le due diagonali maggiori (quelle che congiungono $A_k$ coi vertici del lato opposto);
  
  
• con centro nel vertice $A_k$ ed apertura la diagonale maggiore uscente da tale vertice, si traccia l'arco minore di circonferenza che ha gli estremi coincidenti coi vertici del lato opposto ad $A_k$;
  
  
• lo $n$-agono regolare di Reuleaux di vertici $A_1...A_n$ è il poligono curvilineo delimitato da $"arc"(A_1A_2), "arc"(A_2A_3), …, "arc"(A_nA_1)$.

Ad esempio, i seguenti sono triangolo, pentagono, eptagono ed ennagono regolari di Reuleaux:



***

Esercizio:

1. Se $d>0$ è la misura della diagonale maggiore del poligono regolare $A_1...A_n$ di partenza, calcolare l'area ed il perimetro dello $n$-agono regolare di Reuleaux avente gli stessi vertici.

2. Quanto vale il rapporto $("area")/("perimetro"^2)$ per lo $n$-agono regolare di partenza?

3. Quanto vale il rapporto $("area")/("perimetro"^2)$ per lo $n$-agono regolare di Reuleaux?

4. La quantità $("area")/("perimetro"^2)$ varia per movimenti rigidi del piano?
E per omotetie?

5. Prova che è possibile usare un'omotetia di rapporto $lambda>0$ (da calcolare) per costruire un $n$-agono regolare di Reuleaux avente la stessa area di un $n$-agono regolare assegnato e calcolane il perimetro.

6. Per le due figure determinate al punto 5 calcola e confronta tra loro i due rapporti $("area")/("perimetro"^2)$ e stabilisci quale tra di essi è più vicino al rapporto $("area")/("perimetro"^2)$ del cerchio avente la stessa area delle due figure.

[axpgn]

1)

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$P_n=pid$ dove $P_n$ è il perimetro dell'$n$-agono regolare di Reuleaux e $d$ la misura della relativa diagonale maggiore

$R_n=A_n+(C_(2n)-A_(2n))/2$ dove $R_n$ è l'area dell'$n$-agono regolare di Reuleaux, $A_i$ è l'area di un poligono regolare di $i$ lati, $C_i$ è l'area del cerchio circoscritto ad un poligono regolare di $i$ lati.

Cordialmente, Alex

[gugo82]

@ Alex: L’idea era quella di esprimere l’area in funzione di $d$ (ed eventualmente di $n$), non di dare una ricorrenza.

[axpgn]

L'avevo capito ma troppi conti, non ne avevo voglia …

Comunque …

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Tanto per cominciare …

$alpha/2=pi/n$

$R=L/(2*sin(alpha/2))$
$a=R*cos(alpha/2)$

$A_n=(n*L*a)/2$


$alpha/4=alpha/2/2$

$d=L/(2*sin(alpha/4))$
$a_2=d*sin(alpha/4)$

$A_(2n)=(n*L*a_2)$

$C_(2n)=pi*d*d$


$R_n=A_n+(C_(2n)-A_(2n))/2$

Adesso, basta sostituire … se è giusto

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Segue …

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$alpha=(2pi)/n$

$beta=pi/n$

$gamma=pi/(2n)$

$R_n=(n*L*a+pi*d^2-n*L*a_2)/2$

$R_n=(pid^2+2nd^2(sin(gamma))^2(cot(beta)-1))/2$

$R_n=d^2/2*(pi+2n(sin(pi/(2n)))^2(cot(pi/n)-1))$

Forse ... se non mi sono perso ...

Cordialmente, Alex