Numero aureo.

[3m0o]

Siano \(x,y \) due numeri reali qualunque e definiamo \(M(x,y):=\max\{1,\left| x + y \right|,\left| xy\right| \} \)

i) Dimostrare che abbiamo \(\max\{ \left| x\right| , \left| y \right| \} \leq \phi \cdot M(x,y)\)

ii) Trovare due numeri reali \(x,y \) tale che \(\max\{ \left| x\right| , \left| y \right| \} = \phi \cdot M(x,y)\)

[axpgn]

Per il secondo dovrebbe essere …

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$x=(1+sqrt(5))/2$ e $y=(1-sqrt(5))/2$

Cordialmente, Alex

[3m0o]

Si
Per il primo?

[axpgn]

Bella domanda

[3m0o]

Bella domanda

Non è difficile se si ha l'idea giusta

[axpgn]

Come sempre

[axpgn]

Dunque, proviamo …

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Se $x$ e $y$ sono, in valore assoluto, entrambi minori di $1$ la diseguaglianza è immediatamente verificata.
Lo stesso dicasi se sono entrambi maggiori di $1$ in valore assoluto.
Inoltre devono essere discordi.
Assumiamo che sia $x>1$ e $-1<y<0$.
Notiamo però che deve essere anche $y> (1-sqrt(5))/2$ perché altrimenti sarebbe $phiy>1$ e la diseguaglianza sarebbe verificata per $phi|xy|$.
Ne consegue anche che in $phi|x+y|$ il valore che diminuisce $x$ è minore di $1$ e siccome $x$ non può essere inferiore a $phi$ allora $phix>=phi^2$ che diminuito di $1$ fa $phi$ quindi non minore di $x$

Penso si sia capito poco … a richiesta spiegherò meglio

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Una versione più chiara … spero …

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1) $M>=1$
2) Se $|x|<1 ^^ |y|<1$ allora $max{|x|, |y|}<phiM$
3) Se $|x|>1 ^^ |y|>1$ allora $max{|x|, |y|}<|xy|\ ->\ max{|x|, |y|}<phiM$
4) Quindi, senza perdere di generalità, $|x|>1 ^^ |y|<1$
5) Inoltre $x$ e $y$ devono essere discordi altrimenti $max{|x|, |y|}<|x+y|\ ->\ max{|x|, |y|}<phiM$
6) Perciò, senza perdere di generalità, $x>1 ^^ -1<y<0$
7) Se $-1<y<(1-sqrt(5))/2$ allora $phi|y|>1$ quindi $phi|xy|>|x|$ da cui $max{|x|, |y|}<phiM$
8) Quindi $ (1-sqrt(5))/2<y<0$ e $0<phi|y|<1$
9) Se $x<phi$ allora $max{|x|, |y|}<phiM$
10) Quindi non rimane che il caso $x>phi$ (e ovviamente con $ (1-sqrt(5))/2<y<0$)
11) Se fosse $y=0$ avremmo $|x|$ da una parte e $phi|x|$ dall'altra, con una differenza a "nostro" favore pari a $d=x(phi-1)$
12) Ora abbiamo visto che $y$, al massimo, può far diminuire $x$ di $phi-1$
13) Ovvero $x+y=x-phi+1$ e la differenza diventa $d=phi(x-phi+1)-x$
14) Per concludere si vuole che sia $d>=0$
15) Quindi $phix-phi^2+phi-x>=0\ ->\ x(phi-1)>=phi^2-phi\ ->\ x(phi-1)>=phi(phi-1)$
16) Da cui $x>=phi$ che concorda con quanto ipotizzato.

Fine.

Cordialmente, Alex

[3m0o]

Grazie per la versione più chiara. Ad una prima occhiata mi sembra funzionare
Anche se io l'ho fatto in modo totalmente differente

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Dimostriamo anzitutto il risultato seguente
Sia \( p(x) =ax^2+bx+c \) un polinomio di secondo grado con \( \Delta \geq 0 \), e \( x_1,x_2 \) le sue radici. Allora
\[ \max\{ \left| x_1\right|, \left| x_2\right| \} \leq \frac{\phi}{\left|a\right|} \max\{ \left| a\right|, \left| b\right|,\left| c\right| \} \]

Poniamo \( x_1 = \frac{ -b + \sqrt{ \Delta}}{2a} \) e \( x_2 = \frac{ -b - \sqrt{ \Delta}}{2a} \)
Abbiamo che
\[ \left| x_1 \right| = \left| \frac{ -b + \sqrt{ \Delta}}{2a} \right| \leq \frac{\left| b \right|+ \sqrt{ \left|\Delta \right| }}{2\left|a \right|} \leq \frac{1+ \sqrt{5}}{2}\frac{\max\{ \left| a\right|, \left| b\right|,\left| c\right|\}}{\left|a\right|}
\]
Abbiamo utilizzato il fatto che \( \left| x - y \right| \leq \left| x \right| + \left| y \right| \)
E dunque
\( \left| - b + \sqrt{\Delta} \right| \leq \left|b \right| + \left| \sqrt{\Delta} \right| \)
e inoltre
\( \left| \Delta \right| \leq \left| b^2 \right| + 4 \left| ac \right| \leq 5 \max\{ \left| a\right|, \left| b\right|,\left| c\right|\}^2 \)
Allo stesso modo, utilizzando il fatto che \( \left| - b - \sqrt{\Delta} \right| = \left| b + \sqrt{\Delta} \right| \leq \left|b \right| + \left| \sqrt{\Delta} \right| \)
\[ \left| x_2 \right|= \left| \frac{ -b - \sqrt{ \Delta}}{2a} \right| \leq \frac{\left| b \right|+ \sqrt{ \left|\Delta \right| }}{2\left|a \right|} \leq \frac{1+ \sqrt{5}}{2}\frac{\max\{ \left| a\right|, \left| b\right|,\left| c\right|\}}{\left|a\right|}
\]

Tornando al nostro problema, poniamo \( p(z) = (z-x)(z-y) = z^2 - (x+y)z + xy \) e il risultato segue direttamente.