Disuguaglianza trigonometrica

[gugo82]

Esercizio:

Dimostrare che per ogni $0<= theta < pi/2$ risulta $tan theta + sin theta >= 2theta$.
Per quali valori di $theta$ è soddisfatta l’uguaglianza?

[@melia]

Si può usare l'analisi?

[gugo82]

Sì, @melia, io l’ho pensata così; poi se qualcuno trova una dimostrazione geometrica, ben venga.

[orsoulx]

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La dimostrazione geometrica è un esercizio che assegnavo quasi tutti gli anni quando, in età più tenera, tormentavo gli studenti dello scientifico. Non ho tempo per approfondire, perciò mi limito a segnalare che il fulcro della dimostrazione consiste nel provare, geometricamente, che $ tan(x)>2tan(x/2) (AAx| 0<x<pi/2)$.

Ciao

[axpgn]

@orsoulx
Intendi una cosa così ?

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Disegnato il cerchio goniometrico, tracciamo $B\hatAD=30°$ e $B\hatAC=60°$
Perciò $tan(30°)=BD$ e $tan(60°)=BE$.
Tracciata la tangente in $C$, abbiamo $BD=CD$
Dato che il triangolo $C\hatDE$ è rettangolo in $C$ avremo che l'ipotenusa $DE$ sarà maggiore del cateto $CD$

Quindi $DE>DC\ ->\ BD+DE>BD+DC\ ->\ BE>2BD\ ->\ tan(60°)>2tan(30°)$

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@Alex.

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Il disegno postato da Alex, generalizzabile a qualsiasi arco $ BC=x$ con $0<x<pi/2$, è quanto serve per completare la dimostrazione, basta aggiungere il segmento $ BC $ ed esaminare alcune relazioni fra le aree delle figure presenti.

Il raggio della circonferenza goniometrica è, per definizione, l'unità di misura lineare, quindi:
$ A(OBE)=1/2 cdot 1 cdot tan(x)=tan(x)/2$;
$ A(OBC)=1/2 cdot 1 cdot sin(x)=sin(x)/2$ ($ sin(x) $ è l'altezza del triangolo relativa alla base $ OB $).

$tan(x)/2=A(OBE)=A(OBDC)+A(CDE) $ e
$sin(x)/2=A(OBC)=A(OBDC)-A(CBD) $ che sommate membro a membro forniscono
$(tan(x)+sin(x))/2=2A(OBCD)+A(CDE)-A(CBD)$. [*]

Essendo:
$ A(OBCD)>x/2 $, perché il quadrilatero $ OBCD $ include il settore circolare $ OBC $ di area $1/2 cdot 1 cdot x=x/2 $;
$ A(CDE)-A(CBD)>0$, perché i due triangoli hanno il vertice $C$ in comune, basi $ DE $ e $BD$ appartenenti alla stessa retta e, come ha mostrato Alex, $ DE>BD $;
il secondo membro di [*] è maggiore di $ x $, quindi $(tan(x)+sin(x))/2>x$.

Ciao

[totissimus]

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Nel terzo passaggio ho applicato la disuguaglianza AM-GM.
$tan\vartheta+sin\vartheta=\int_{0}^{\vartheta}\left(\frac{1}{cos^{2}t}+cost\right)dt\geq\int_{0}^{\vartheta}\left(\frac{1}{cost}+cost\right)dt\geq\int_{0}^{\vartheta}2\sqrt{\frac{1}{cost}cost}dt=\int_{0}^{\vartheta}2dt=2\vartheta$