Un'equazione

[axpgn]

Determinare tutte le soluzioni della seguente equazione

$(12x-1)(6x-1)(4x-1)(3x-1)=5$

senza realmente espandere i prodotti.



Cordialmente, Alex

[3m0o]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Basta moltiplicare per \(24 \) da entrambi i lati e poi fare la sostituzione \( y=12x-1\) e l'equazione diviene semplicemente
\[ y(y-1)(y-2)(y-3) = 120 \]
poi con un po' di conti si trova facilmente una soluzione per \( y \), anche se tecnicamente ho svolto i prodotti.

[giammaria]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Posto $x=u/12$, l'equazione diventa

$(u-1)(u/2-1)(u/3-1)(u/4-1)=5$

$(u-1)(u-2)(u-3)(u-4)=120$

Moltiplicando fra loro i due fattori estremi ed i due medi, ho $(u^2-5u+4)(u^2-5u+6)=120$

e ponendo $v=u^2-5u$ ottengo $(v+4)(v+6)=120->v^2+10v-96=0->v={(6),(-16):}$

Da $v=6$ ricavo $u={(6),(-1):}$; da $v=-16$ derivano soluzioni complesse.

[axpgn]

Buona l'impostazione ma …

@3m0o

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Manca il resto
È ovvio che bisogna fare un po' di conti ma se non li fai come posso sapere se sono giusti?

@giammaria

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Bella soluzione però di fatto hai moltiplicato e non era quella la richiesta

Ecco la mia ...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Fatta la sostituzione $x=u/12$ si giunge a $(u-1)(u-2)(u-3)(u-4)=120$
È evidente che ogni (eventuale) soluzione intera porta al prodotto di quattro numeri consecutivi.
Ma è anche $120=2*3*4*5$ da cui è immediato ricavare le due radici intere $r_1= -1$ e $r_2=6$

Proseguo sfruttando le relazioni tra radici e coefficienti, avremo quindi

$(-1)(6)r_3r_4=-120+(-1)(-2)(-3)(-4)\ ->\ r_3r_4=16$ e

$-(-1+6+r_3+r_4)=-1-2-3-4\ ->\ r_3+r_4=5$ ovvero

$y^2-5y+16=0$ che ha soluzioni $r_(3,4)=(5+-isqrt(39))/2$

Le soluzioni perciò sono $-1/12, 1/2, (5+-isqrt(39))/24$

Cordialmente, Alex

[3m0o]

axpgn

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Beh non avevo troppa voglia di continuare

[giammaria]

axpgn, hai ragione però ...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Per calcolare somma e prodotto delle radici complesse hai fatto mentalmente una parte del prodotto; mi sembra impossibile evitare del tutto un prodotto che c'è.
Avevo pensato anche ad un'altra soluzione ma mi piaceva di meno; non avrebbe evitato la tua critica.
L'equazione
$(u-1)(u-2)(u-3)(u-4)=120$
fa presagire radici simmetriche rispetto alla media fra gli zeri del primo membro, quindi la sostituzione $u=v+5/2$ origina una biquadratica, di facile soluzione.

[axpgn]

@giammaria

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Ho trovato le due soluzioni intere senza calcoli, poi ho sfruttato le relazioni tra radici e coefficienti calcolando solo il termine noto; mi pare sia decisamente diversa dalla tua dove hai moltiplicato prima due coppie e poi queste fra loro
Peraltro l'originale diceva esattamente solo questo: "without actually expanding solve" che forse era leggermente più lasco

Cordialmente, Alex

[giammaria]

@ axpgn

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Scrivi "ho sfruttato le relazioni tra radici e coefficienti calcolando solo il termine noto", ma in realtà hai calcolato anche i coefficienti di $u^4$ ed $u^3$. Per il primo si può sostenere che non è un vero calcolo perché il risultato è ovvio, ma per il secondo no; mi riferivo a questo dicendo che hai fatto mentalmente un parte del prodotto. Sarebbe interessante conoscere la risposta ufficiale.

[axpgn]

@giammaria

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

… Per il primo si può sostenere che non è un vero calcolo perché il risultato è ovvio, ma per il secondo no;

Beh … no, dai, anche questo è ovvio, è la somma dei termini dei binomi … e volendo essere pignoli non è una moltiplicazione (scherzo )

Cordialmente, Alex