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Cerchio e semicerchio

MessaggioInviato: 13/03/2020, 00:13
da axpgn
Disegniamo una semicirconferenza nel primo quadrante "appoggiata" sull'asse delle $x$ e con un estremo nell'origine.
Disegniamo poi una circonferenza di raggio $r$, centrata nell'origine, che intersechi la semicirconferenza.
Chiamiamo $A$ il punto di intersezione della circonferenza con l'asse positivo delle ordinate e chiamiamo $B$ l'intersezione tra circonferenza e semicirconferenza.
Tracciamo la semiretta uscente da $A$ e passante per $B$, la quale intersecherà l'asse delle ascisse in $X$.

Se riduciamo $r$ sempre più, dove va a finire $X$ ?

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Cordialmente, Alex

Re: Cerchio e semicerchio

MessaggioInviato: 13/03/2020, 16:44
da MrDark82
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se non sbagliato i conti, per r-->0 anche x-->0


Saluti

Re: Cerchio e semicerchio

MessaggioInviato: 13/03/2020, 16:54
da axpgn
Eh, no ... [-X

Re: Cerchio e semicerchio

MessaggioInviato: 14/03/2020, 08:03
da giammaria
Scrivo solo alcuni punti della mia soluzione ed invito i lettori a ricostruirne il resto.
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Indicando con $a$ il raggio della semicirconferenza e scrivendo il risultato in forma razionalizzata, con l'analitica trovo che l'ascissa di $X$ è $x=2a+sqrt(4a^2-r^2)$ e concludo facilmente.
Ho poi interpretato geometricamente questa soluzione e, sapendo dove volevo arrivare, ho trovato una soluzione per via sintetica.

Re: Cerchio e semicerchio

MessaggioInviato: 26/03/2020, 15:14
da marmi
Ciao,
Io l'ho affrontato cosi':
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Siano:
$O$ l’origine degli assi
$D$ la seconda intersezione, oltre ad $O$, della semicirconferenza con l’asse delle ascisse.
Sia $1$ il raggio della semicirconferenza.
Infine sia $\alpha$ la misura deglia angoli congruenti $BDO$ e $AOB$

L’angolo $OAB$ misura $\pi / 2 - \alpha /2$ quindi $OXB$ misura $\alpha /2$.
$BDX$ misura $\pi - \alpha $ quindi DBX misura $\pi /2 - \alpha /2$ ed e’ $DBX \cong OXB$
Da cui $BD \cong DX$.
Per $r \rightarrow 0$ $\overline{BD} \rightarrow 2$ e $\overline{OX} = \overline{OD}+ \overline{DX} rightarrow 4$.

Ciao,
Marmi

Re: Cerchio e semicerchio

MessaggioInviato: 26/03/2020, 15:58
da axpgn
@marmi
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marmi ha scritto:Siano: $D$ la seconda intersezione, oltre ad $O$, della semicirconferenza con l’asse delle ordinate.

E quale sarebbe? Non ce ne sono altre ...

Re: Cerchio e semicerchio

MessaggioInviato: 26/03/2020, 16:36
da marmi
pardon: ascisse. correggo.

Re: Cerchio e semicerchio

MessaggioInviato: 26/03/2020, 17:49
da axpgn
Ok :smt023

@marmi
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Un paio di cose …
marmi ha scritto:$ BDX $ misura $ \pi - \alpha $ quindi DBX misura $ \pi /2 - \alpha /2 $ ed e’ $ DBX \cong OXB $

A me viene che l'angolo $DBX$ viene $alpha/2$ e non $pi/2-alpha/2$ (altrimenti non puoi dire che $DBX=OXB$)
E poi che per $r -> 0$ allora sia $BD -> 2 $ è intuitivamente vero ma formalmente?
Dico questo perché questo problemino è stato fatto proprio per testare l'intuizione; a molti è stato chiesto "dov'è pensi che vada a finire $X$ ? così, ad intuito" e buona parte ha risposto "all'infinito" :wink:


Cordialmente, Alex

Re: Cerchio e semicerchio

MessaggioInviato: 27/03/2020, 08:06
da marmi
@alex
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1. hai ragione: la misura di $DBX$ e' $\alpha /2$
2. per il teorema di pitagora, $DBO$ e' retto essendo inscritto in una semicirconferenza.
3. a intuito non avrei saputo dire


Ciao,
marmi

Re: Cerchio e semicerchio

MessaggioInviato: 03/04/2020, 14:48
da MrDark82
Proseguo la trattazione di marmi e rispondo ad alex

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Volendo esprimere formalmente che BD-->2 per r-->0, si può esprimere BD applicando il teorema di Carnot al triangolo BOD in cui OB=r, OD=2 e l'angolo BOD vale \(\displaystyle \frac{\pi}{2}-\alpha \)


Saluti