Sistema

[axpgn]

Trovare tutte le soluzioni in interi non negativi del seguente sistema:

${(3x^2-2y^2-4z^2+54=0),(5x^2-3y^2-7z^2+74=0):}$



Cordialmente, Alex

[ondine]

Ci provo!

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Facendo la differenza tra la seconda e la prima equazione:
${ ( 3x^2-2y^2-4z^2+54=0 ),( 2x^2-y^2-3z^2+20=0):}$
Facendo la differeza tra la prima e la seconda si ottiene:
${ ( x^2-y^2-z^2+34=0 ),( 2x^2-y^2-3z^2+20=0):}$
facendo la differenza un'ultima volta tra la seconda e la prima:
$x^2-2z^2=14$
e sostituendo si ottiene anche
$y^2-z^2=48$
concentrandoci su questa ultima equaizone, deve essere che:
$(y-z)(y+z)=48$
$48=3*2^4$
Quindi, dato che $y-z < y+z$ e che $y-z$ e $y+z$ sono entrambi pari o entrambi dispari (perchè se la differenza tra due numeri è pari/dispari anche la somma lo è), gli unici valori possibili sono:
$(y-z;y+z)= (2;24),(4;12),(6;8)$
ovvero
$(y;z)=(13;11),(8;4),(7;1)$
Dato che deve valere anche $x^2-2z^2=14$, si vede che l'unico valore di z che porta ad un x intero è $z=1$ percò la soluzione, unica, del sistema è $(x;y;z)=(4;7;1)$

[axpgn]

Quasi ...
L'idea è giusta ma ti manca un pezzettino

Cordialmente, Alex

[ondine]

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Ah! x è intero anche con $z=11$ l'altra soluzione è
$(x;y;z)= (16;13;11)$

[axpgn]