Sistema d'equazioni

[3m0o]

Trovare tutte le soluzioni per \((x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 \) che soddisfano il seguente sistema
\[ \left\{\begin{matrix}
x &+&y &+&z&+ &t &= & -1 \\
\frac{1}{x} &+&\frac{1}{y}&+&\frac{1}{z}&+ &\frac{1}{t} &= & \frac{1}{6} \\
x^2 &+&y^2 &+&z^2&+ &t^2 &= & 15 \\
& & \frac{xy}{3}&-&\frac{2}{zt}& & &= & 0 \\
\end{matrix}\right. \]

[axpgn]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$x=1, y= -1, z=2, t= -3$ e tutte le permutazioni tra queste.
Poi spiego perché ...

Cordialmente, Alex

[3m0o]

[axpgn]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Dalla quarta equazione abbiamo $xyzt=6$
Dalla seconda $xyz+xyt+xzt+yzt=1$
Sottraendo la terza dal quadrato della prima abbiamo $xy+xz+xt+yz+yt+zt = -7$
Assumendo che $x, y, z, t$ siano le radici dell'equazione di quarto grado $(a-x)(a-y)(a-z)(a-t)=0$, sviluppando e sostituendo quanto trovato precedentemente otteniamo $a^4+a^3-7a^2-a+6=0$
Da qui, con Ruffini, si ottengono le quattro radici viste prima.

Cordialmente, Alex

[3m0o]

Si anche io l'ho fatto così!