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da **axpgn** » 23/04/2020, 12:53

Indipendentemente da quanti e quali numeri reali $x_1, x_2, …, x_n$ si possano selezionare nell'intervallo chiuso $[0, 1]$, si può dimostrare che esiste sempre un numero reale $x$ in quell'intervallo tale che la distanza media in valore assoluto dai vari $x_i$ sia pari esattamente a $1/2$, cioè:

$1/n sum_(i=1)^n |x-x_i| = 1/2$?

Cordialmente, Alex

da **3m0o** » 28/04/2020, 20:31

La risposta è sì.

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Fissiamo $n $ punti in $ [0,1] $ e ordiniamoli nel seguente modo, $0 \leq x_1 \leq x_2 \leq \ldots \leq x_n \leq 1 $.
Poniamo dunque
\[ f(x) = \sum_{i=1}^{n} \left| x - x_i \right| \]
Abbiamo che $ f $ è continua in $ \mathbb{R} $ siccome è somma finita di funzioni continue. Inoltre $ f \geq 0 $. Abbiamo per il teorema dei valori intermedi che dato un intervallo $ [a,b] $ tale che $ f(a) < f(b) $ (risp. tale che $ f(b) < f(a) $ ) allora $ f $ prende tutti i valori compresi tra $ f(a) $ ed $ f(b) $ (risp. compresi tra $ f(b) $ ed $ f(a) $ ), dunque se troviamo un intervallo tale che $ f(a) \leq \frac{n}{2} < f(b) $ oppure $ f(b) \leq \frac{n}{2} < f(a) $ ci siamo assicurati dell'esistenza di almeno un $ x \in \mathbb{R} $ tale che $ f(x)= \frac{n}{2} $.

Caso 0:
Supponiamo che $ x_1,\ldots, x_n $ sono tale che
\[ \sum_{i=1}^{n} \left| x_i \right| = \frac{n}{2} \]
allora abbiamo terminato, basta scegliere $ x= 0 $.

Caso 1:
Supponiamo che $ x_1,\ldots, x_n $ sono tale che
\[ \sum_{i=1}^{n} \left| x_i \right| < \frac{n}{2} \]
Il risultato, allora, segue immediatamente siccome abbiamo che
\[ f(0)= \sum_{i=1}^{n} \left| x_i \right| < \frac{n}{2} \]
Inoltre abbiamo che
\[ f(1) = \sum_{i=1}^{n} \left| 1- x_i \right|= n - \sum_{i=1}^{n}x_i > \frac{n}{2} \]
Pertanto abbiamo che esiste $ x \in [0,1] $ tale che $ \frac{1}{n} f(x) = \frac{1}{2} $.

Caso 2:
Supponiamo che $ x_1,\ldots, x_n $ sono tale che
\[ \frac{n}{2} < \sum_{i=1}^{n} \left| x_i \right| \leq n \]
Siano inoltre $ 0 \leq x_1 \leq \ldots \leq x_k \leq \frac{1}{2} $ e $ \frac{1}{2} < x_{k+1} \leq \ldots \leq x_n \leq 1 $.
Abbiamo allora che
\[ 0 \leq f(1/2) = \sum_{i=1}^{n} \left| \frac{1}{2} - x_i \right| = \sum_{i=1}^{k} \left( \frac{1}{2} - x_i \right) + \sum_{i=k+1}^{n} \left( x_i - \frac{1}{2}\right)\]
Abbiamo inoltre che per ogni $ 1 \leq i \leq k $ risulta che $ \left( \frac{1}{2} - x_i \right) \leq \frac{1}{2} $ e che per ogni $ k+1 \leq i \leq n $ risulta che $ \left( x_i - \frac{1}{2}\right) \leq \frac{1}{2} $ dunque
\[ f(1/2) =\sum_{i=1}^{k} \left( \frac{1}{2} - x_i \right) + \sum_{i=k+1}^{n} \left( x_i - \frac{1}{2}\right) \leq \frac{k}{2} + \frac{n-k}{2} \leq \frac{n}{2} \]

Inoltre per ipotesi abbiamo che
\[ \frac{n}{2} < f(0)= \sum_{i=1}^{n} \left| x_i \right| \leq n \]

Pertanto abbiamo che esiste $ x \in [0,1/2] $ tale che $ \frac{1}{n} f(x) = \frac{1}{2} $.

da **axpgn** » 28/04/2020, 23:41

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La strada è quella però poteva essere più corta

$f(x)=1/n sum_(i=1)^n |x-x_i|$

$f(0)=1/n sum_(i=1)^n |-x_i| = 1/n sum_(i=1)^n x_i$

$f(1)=1/n sum_(i=1)^n |1-x_i| = 1/n sum_(i=1)^n (1-x_i) = 1/n(n-sum_(i=1)^n x_i) = 1-f(0)$

Quindi $f(0)+f(1)=1$ e di conseguenza, data la continuità, esiste almeno un $x in [0,1]$ per cui $f(x)=1/2$