3m0o ha scritto:Non è sicuramente il modo richiesto
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Ma è quantomeno curioso che prendendo un'altra convenzione allora ogni quadrato perfetto è soluzione del problema.
Infatti scegliendo la convenzione che se due numeri hanno due rappresentazioni decimali differenti, consideriamo quella che termina con infiniti \( 9 \) invece di infiniti \( 0 \), allora dati 3 quadrati perfetti \( x,y,z >n \) abbiamo che \( \sqrt{x},\sqrt{y} ,\sqrt{z} \in \mathbb{N} \) e grazie alla nostra convenzione abbiamo che
\[ \operatorname{mant}(\sqrt{x}) + \operatorname{mant}(\sqrt{y}) = 0.\bar{9} + \operatorname{mant}(\sqrt{z}) \]
Siccome \( \operatorname{mant}(\sqrt{x}) = 0.\bar{9} \), \( \operatorname{mant}(\sqrt{y}) = 0.\bar{9} \) e \( \operatorname{mant}(\sqrt{z}) = 0.\bar{9} \).
Diciamo che è una risposta un po' borderline e non so quanto possa essere corretta perché $ 0,bar(9)=1 $ quindi $ 0,bar(9) $ non può essere la parte frazionaria di una radice.
Io comunque credo di aver trovato la soluzione e la posto qui sotto
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se $ {sqrtx}+{sqrty}= 1+ {sqrtz} $ è vera allora
$ sqrtx+sqrty-sqrtzinZ $ elevo al quadrato
$ x+y+z+ 2sqrt(xy)-2sqrt(xz)-2sqrt(yz)inZZ $ elimino $ x+y+z $ perché è intero e ottengo
$ 2sqrt(xy)-2sqrt(xz)-2sqrt(yz)inZZ $ quindi elevo di nuovo al quadrato
$ 4(xy+xz+yz+2zsqrt(xy)-2ysqrt(xz)-2xsqrt(yz))in ZZ $ elimino $ 4(xy+xz+yz) $ perché sicuramente intero
quindi imposto il sistema $ { ( 2(sqrt(xy)-sqrt(xz)-sqrt(yz))in ZZ ),(8(zsqrt(xy)-ysqrt(xz)-xsqrt(yz))in ZZ ):} $ lo lavoro alla gauss (ad esempio la seconda equazione meno $ 4z $ volte la prima) ed ottengo
$ 8((z-y)sqrt(xz)+(z-x)sqrt(yz))in ZZ $ elevo un'altra volta al quadrato
$ 64((z-y)^2xz+(z-x)^2yz+(z-y)(z-x)zsqrt(yx))in ZZ $ togliamo la parte sicuramente intera
$ 64((z-y)(z-x)zsqrt(yx))in ZZ $ da qui concludiamo che $ sqrt(xy) in ZZ $ perché sappiamo che appartiene alle frazioni ma il suo quadrato è intero quindi deve necessariamente essere intero.
Facendo una diversa manipolazione alla Gauss (che non scrivo per non appesantire la lettura) otteniamo che $ sqrt(xz) in ZZ $
da queste informazioni otteniamo che $ sqrt(xz)*sqrt(xy)=xsqrt(yz) in ZZ $ per cui $ sqrt(yz) in ZZ $
quindi concludiamo che $ { ( sqrt(xy)in Z ),( sqrt(xz)in Z ),( sqrt(yz) in ZZ):} $
Adesso proviamo invece a scrivere $ sqrtx+sqrty=sqrtz+k $ con k intero allora attraverso varie manipolazioni (sempre all'insegna dell'elevazione al quadrato) otteniamo $ 4k^2z+4xy-(k^2+z-x-y)^2=8ksqrt(xyz) $ da cui concludiamo che per $ k ne 0 $ allora $ sqrt(xyz) in ZZ $
scrivo che se $ k ne 0 $ allora $ { ( sqrt(xy)in ZZ ),( sqrt(xz)in ZZ ),( sqrt(yz) in ZZZ),(sqrt(xyz)inZZ):} $
ma ciò è possibile se e solo se $ x,y,z $ sono quadrati perfetti perché $ sqrt(xyz)=sqrt(xy) * sqrt(z)in ZZ $ per cui $ sqrt(z)in ZZ $ e questo procedimento si può svolgere per ogni variabile, quindi $ k ne 0 $ non va bene.
se $ k=0 $ allora le uniche condizioni sono $ { ( sqrt(xy)in ZZ ),( sqrt(xz)in ZZ ),( sqrt(yz) in ZZ):} $ e se scrivo $ x= alpha * beta^2 $ , $ x= alpha * gamma^2 $ , $ x= alpha * delta^2 $ con $ alpha, beta, gamma,delta in ZZ $ allora l'equazione $ {sqrtx}+{sqrty}=1+{sqrtz} $ diventa $ beta + gamma= delta $ con $ alpha ne 0 $ che ha infinite soluzioni anche imponendo la condizione $ x,y,z>nin NN $
Ditemi se secondo voi va bene.