Parte frazionaria di una radice

[3m0o]

Beh gli indici "al contrario" gli scrivi con la serie di Laurent, ma in questo caso avevo considerato prima solo
\[ \sum_{k=0}^{ \infty} \frac{a_k}{10^k} \]
poi mi sono reso conto di non star considerando tutti i numeri più grandi di \(10 \) e quindi ho aggiunto un \(-n\) al posto dello zero così il \( \frac{1}{10^{-n}}=10^n \), e mi sembrava il modo che richiedesse meno tempo per correggere questa mia mancanza
E nel post successivo ho continuato con questa scrittura per rimanere coerente.

Si effettivamente mi sono spiegato maluccio. Comunque lo so che l'OP aveva un altra definizione io dicevo solo che è curioso come in base alla convenzione che prendi (con la definizione che intendo io) hai che in un caso tutti gli interi sono soluzione e nell'altro nessun intero è soluzione.
edit: non tutti gli interi ma tutti i quadrati perfetti.

[axpgn]

… io dicevo solo che è curioso come in base alla convenzione che prendi (con la definizione che intendo io) hai che in un caso tutti gli interi sono soluzione e nell'altro nessun intero è soluzione.
edit: non tutti gli interi ma tutti i quadrati perfetti.

… mmmm … non mi pare sia così, la convenzione usata è implicita nel fatto che usa il numero $1$ che nell'altra convenzione non esiste … isn't it?

[3m0o]

Chiaramente nel testo del problema è specificata pure la definizione di mantissa dunque non puoi considerare la convenzione.
Ma uscendo dal problema iniziale, e considerando la definizione a cui ho fatto riferimento, abbiamo che \(1 \) è solo un nome che dai per rappresentare \( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{a_k}{10^k} \), con \( a_0=1 \) e \(a_k=0 \) per tutti \(k \geq 1\) e \( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{b_k}{10^k} \) \( b_0=0 \) e \(b_k=9 \) per tutti \(k \geq 1\) e che sono lo stesso oggetto ma che hanno scritture differenti. Ed in base a quale scrittura scegli come convenzione le soluzioni al problema cambiano.

[orsoulx]

Volando un po' più in basso, mi pare potrebbe andar bene:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$(AA n \in ZZ^+): x=n^2+n; y=4x; z=9x$

.. e qualche camionata di altre possibilità
Ciao

[axpgn]

Giusto per rompere le scatole: quella non è una dimostrazione

(Disclaimer: intervento fatto solo perché non riesco comunque a dimostrarla partendo da quelle soluzioni )


EDIT: ci sono riuscito, sbagliavo i conti

[jas123]

@orsoulx
se guardi la mia dimostrazione il caso che hai proposto ricade in quelli che ho trovato (che dovrebbero essere tutti i casi possibili)

[orsoulx]

...(che dovrebbero essere tutti i casi possibili)

Vero! Ogni soluzione soddisfa le condizioni che hai trovato, che sono pertanto necessarie.
Purtroppo, però, non sono sufficienti per garantire l'uno al secondo membro dell'uguaglianza assegnata.
Ciao

[jas123]

sì vero, però a partire da lì è semplicissimo trovare soluzioni sicure (ad esempio scegliendo $ alpha =k^2-1 $ con $ k>n $ intero e $ beta,gamma=1 $)

[giammaria]

Un pezzo non è veramente dimostrato, ma il resto dovrebbe andare bene. In sostanza, è come la soluzione già data, ma mi sembra più chiaramente esposta e dimostrata.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Preso un numero positivo $u$ qualsiasi ed un $k$ intero positivo, si dimostra facilmente che $k{u}={ku}+"intero"$. Perciò se assumo $y=x; z=4x$ i due membri hanno la stessa parte frazionaria (con $k=2$).
Con $n>1$ e $x=n^2-1$ le variabili risultano maggiori di $n$ e si ha anche la stessa parte intera: infatti il secondo membro è compreso fra 1 e 2 ed anche il primo lo è, essendo somma di due numeri compresi fra 0.732 ed 1.
Il pezzo non dimostrato è quest'ultima affermazione, ma è intuitivo che al crescere di $n$ cresce anche ${sqrt(n^2-1)}$, tendendo a $0.bar 9=1$ per $n->oo$. Forse non è difficile dimostrarlo e proprio ora me ne è venuto in mente un modo, ma non voglio farla troppo lunga.