Ma lol, nemmeno per sogno: come vedi qui https://math.stackexchange.com/a/1023619/685 la questione è come minimo relativa al contesto; e si decide che i termini significhino questo: positivo sottintende "strettamente", e "non-negativo" include lo zero. Sinonimo di nonnegativo è "positivo o nullo" o "positivo, possibilmente nullo".Beh, penso di essere in buona compagnia ...
Forse ti sfugge il fatto che non siamo in una sezione universitaria e qui si dà per scontato che lo zero non sia positivo
Forse a sfuggirmi è come si giustifica una definizione ambigua in forza del suo target. O forse sfugge a te, ma a questo punto non importa. Bastava capirsi, e ho capito questo ed altro, ora.
Per il resto.
Sei d'accordo che
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il limite di una successione, se esiste, è lo stesso di ciascuna delle sue code?
Se sì, sei d'accordo che Testo nascosto, fai click qui per vederlo
shiftare avanti o indietro di un termine ha poco effetto sul risultato.
Nel tuo caso,
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$a_0=1$, $a_1=k$, e $a_2=a_0-a_1=1-k$... in effetti i primi valori sono i seguenti:
\[
\{1,k,1-k,2 k-1,2-3 k,5 k-3,5-8 k,13 k-8,13-21 k,34 k-21,34-55 k,\dots,\dots\}
\]
da cui il guess che\[
\{1,k,1-k,2 k-1,2-3 k,5 k-3,5-8 k,13 k-8,13-21 k,34 k-21,34-55 k,\dots,\dots\}
\]
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il termine generale della successione sia \((-1)^{n-1}(F_n - k F_{n+1})\);
cosa che effettivamente si può verificare per induzione con una paziente burocrazia. Adesso il constraint che questi siano tutti termini positivi cosa dice? Impone
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il sistema infinito di disuguaglianze
\[\begin{cases}
k\ge 0 \\
1-k\ge 0 \\
2 k-1\ge 0 \\
2-3 k\ge 0 \\
5 k-3\ge 0 \\
5-8 k\ge 0 \\
13 k-8\ge 0 \\
13-21 k\ge 0 \\
34 k-21\ge 0 \\
34-55 k \ge 0\\
\vdots
\end{cases}\]
Ora la condizione \((-1)^{n-1}(F_n - k F_{n+1}) \ge 0\) impone una certa condizione a $k$ a seconda della parità di $n$, e questa condizione è esattamente \(\frac{F_n}{F_{n+1}}\le k\le \frac{F_{n+1}}{F_{n+2}}\), ossia \(k\in\big[\frac{F_n}{F_{n+1}},\frac{F_{n+1}}{F_{n+2}}\big]=: U_n \)
\[\begin{cases}
k\ge 0 \\
1-k\ge 0 \\
2 k-1\ge 0 \\
2-3 k\ge 0 \\
5 k-3\ge 0 \\
5-8 k\ge 0 \\
13 k-8\ge 0 \\
13-21 k\ge 0 \\
34 k-21\ge 0 \\
34-55 k \ge 0\\
\vdots
\end{cases}\]
Ora la condizione \((-1)^{n-1}(F_n - k F_{n+1}) \ge 0\) impone una certa condizione a $k$ a seconda della parità di $n$, e questa condizione è esattamente \(\frac{F_n}{F_{n+1}}\le k\le \frac{F_{n+1}}{F_{n+2}}\), ossia \(k\in\big[\frac{F_n}{F_{n+1}},\frac{F_{n+1}}{F_{n+2}}\big]=: U_n \)
Ma ora,
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il limite \(\lim_{n\to \infty} U_n\) è uguale a \(\bigcap_n U_n\), ossia a \(\{\varphi-1\}\), dove \(\varphi = \frac{1-\sqrt{5}}{2}\).
