Una successione

[axpgn]

Trovare una successione $a_0, a_1, a_2, … $ i cui elementi siano positivi e tale che sia $a_0=1$ e $a_n-a_(n+1)=a_(n+2)$ per $n = 0, 1, 2, … $.
Mostrare che tale successione è unica.

Cordialmente, Alex

[solaàl]

E' evidente che

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quando il valore di $a_1=k$ è fissato, la successione è completamente determinata dalla relazione di ricorrenza che scrivi

, perché

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\(a_n = (-1)^{n-1}(F_n - k F_{n+1})\) dove gli $F_n$ sono i numeri di Fibonacci.

Del resto, questo impone un constraint sul valore di k obbligandolo ad essere

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inscatolato nell'intervallo \(\big[\frac{F_n}{F_{n+1}},\frac{F_{n+1}}{F_{n+2}}\big]\);

è evidente che

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passando al limite per \(n\to \infty\) \(k \) deve essere uguale a \(\varphi-1 = \lim_{n\to\infty}\frac{F_n}{F_{n+1}}\).

[solaàl]

Però dovresti specificare "non negativi" invece di "positivi" e che la successione è fatta da numeri reali, non interi (dove chiaramente il problema non ha soluzione).

[axpgn]

Non vedo perché dovrei cambiare il testo del quesito, dato che quello è il testo originale (a dir la verità, quello originale è in inglese ).

La tua successione mi torna, salvo che è spostata (in anticipo) di un indice (se non ho sbagliato i conti), quindi forse non è la stessa?
Ovviamente, per me non c'è niente di evidente in quello che hai scritto

Tale successione si può esprimere in modo più semplice (altrimenti non ci sarei mai arrivato ).

Cordialme

[solaàl]

Non vedo perché dovrei cambiare il testo del quesito, dato che quello è il testo originale (a dir la verità, quello originale è in inglese ).

Perché il testo, per come lo hai tradotto, è ambiguo: cosa significa "positivi"? Strettamente positivi? Positivi e possibilmente nulli? E dove ha valori questa successione? In \(\mathbb N\)? In \(\mathbb R\)? Nel tuo giardino?

Decifrare il testo di un esercizio non deve essere parte dell'esercizio se l'ambiguità ne pregiudica la buona positura: è qualcosa che si impara insieme alla matematica.

Per il resto: mi sembra tutto davvero evidente, la ricorrenza che hai scritto implica ciascuna delle cose che ho detto, e il fatto che il limite che dico faccia \(\varphi-1\) è una cosa ben nota.

[axpgn]

… Perché il testo, per come lo hai tradotto, è ambiguo:

Stavolta non credo …

"Find a sequence $a_0, a_1, a_2, …$ whose elements are positive and such that $a_0=1$ and $a_n-a_(n+1)=a_(n+2)$ for $n=0, 1, 2, …$
Show that there is only one such sequence."

… cosa significa "positivi"? Strettamente positivi? Positivi e possibilmente nulli?

Mi stai dicendo che "positivi" è ambiguo? E dove avrei ristretto il campo ai naturali? O ad altro?

Quel che è "evidente" per te non implica che lo sia per me, è "evidente"

Peraltro, come ho detto, non mi tornano gli indici della tua successione con la mia ovvero la tua anticipa di un posto rispetto alla mia perciò "potrebbe" non essere la stessa (… quel limite lo conosco ... )

Cordialmente, Alex

[solaàl]

Mi stai dicendo che "positivi" è ambiguo?

0 è positivo?

Per il resto, sì, io contavo \(a_n = a_{n-2}-a_{n-1}\), ho semplicemente spostato all'indietro.

[axpgn]

0 è positivo?

No.

Per il resto, sì, io contavo \( a_n = a_{n-2}-a_{n-1} \), ho semplicemente spostato all'indietro.

No, non intendevo quello.
La successione cercata deve iniziare con $a_0=1$; se chiamo $s_n$ la tua successione, allora (secondo i miei calcoli) abbiamo che $s_0=a_1$ ovvero in generale $s_n=a_(n+1)$.

Cordialmente, Alex

[solaàl]

No.

Beh, per te. Il punto è proprio questo.

[axpgn]

Beh, penso di essere in buona compagnia ...

Forse ti sfugge il fatto che non siamo in una sezione universitaria e qui si dà per scontato che lo zero non sia positivo ...

Peraltro mi pare che sia poco rilevante dato che nella successione cercata non ci sono zeri (neanche nella tua mi sembra ...), o no?

Cordialmente, Alex