Successione trigonometrica che non si ripete

[jas123]

Salve a tutti, vi propongo un problema che non riesco a risolvere:

Dimostrare che, dato $ theta | sin(theta)=4/5, cos(theta)=3/5 $ , scrivendo la successione $ a_n= cos(ntheta+alpha) $ allora $ a_n $ non assume lo stesso valore più di due volte.

La mia idea era questa (ma non so come svilupparla):

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dimostrare che $ theta ne pik/m $ con $ kin ZZ, m in ZZ-{0} $ e quindi a prescindere dal valore di $ n $ (e quindi dal numero di "giri" che si fanno) $ cos(alpha+n theta ) $ non assume mai lo stesso valore due volte. Però non ho proprio idea di come fare e non sono nemmeno sicuro sia giusto.

[axpgn]

Prova a dare un'occhiata qui e vedi se ti è utile …

Cordialmente, Alex

[jas123]

L'idea è buona, ma se per esempio fosse $alpha=45^o$ e $r=sqrt 2$, già l'angolo doppio non va bene ; inoltre non trovi infiniti punti. Suggerirei di modificarla prendendo gli infiniti punti del tipo $alpha+k beta$, dove $beta$ è un angolo con seno e coseno razionale, ad esempio l'$arcsin (3/5)$. Non ho provato a scrivere i calcoli, ma pensando al loro tipo dovrebbe andar bene

Non ho capito se hanno dimostrato o meno che i punti generati da $alpha+k beta$ sono infiniti, mi sembra di no.

[axpgn]

Io penso di sì comunque se passa di qui giammaria ti può chiarire tutto

[jas123]

Ok credo di aver capito,

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esiste un teorema (mi sembra si chiami teorema di Niven) che afferma che gli unici valori razionali che può assumere $ sin(p/q pi)$ con $ p,q in ZZ $ sono $ 0, +- 1/2,+-1$ quindi $ theta ne p/q pi $ da qui la conclusione è banale.

[axpgn]

Non l'ho capita ...

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Prendi $p=3, q=4$ e allora $sin(3/4pi)$ è diverso da quei valori

[jas123]

si ho dimenticato di aggiungere razionali, una parola che cambia tutto.

[axpgn]

… mmm … non sono del tutto convinto … espongo le mie perplessità …

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Un angolo si dice aritmetico se tutte le sue funzioni trigonometriche sono razionali (per convenzione si considerano aritmetici anche quegli angoli multipli di $pi/2$ tali per cui alcune funzioni non esistono, come per esempio $tan (pi/2)$).
Siccome le formule trigonometriche di addizione sono funzioni razionali di funzioni trigonometriche, somme e differenze di angoli aritmetici generano angoli aritmetici, così come multipli interi di angoli aritmetici.
Perciò se $theta$ è un angolo aritmetico (come in questo caso), anche $ntheta$ lo sarà e se pure $alpha$ lo è, così sarà anche $ntheta+alpha$.

Da quanto detto mi pare che quel teorema non sia sufficiente per concludere. IMHO.

Cordialmente, Ale

[jas123]

… mmm … non sono del tutto convinto … espongo le mie perplessità [...]

Cordialmente, Ale

io ho fatto così

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la traccia ci chiede di dimostrare che NON esistono
$ a,b,c in ZZ| cos(atheta+alpha)=cos(btheta+alpha)=cos(ctheta+alpha) $
quindi svolgo
$ cos(atheta+alpha)=cos(btheta+alpha) $ quindi
$ atheta=btheta+2kpi $ oppure $ -alpha-atheta=btheta+alpha+2kpi $ con $k in ZZ$
svolgendo la prima equazione ottengo
$ theta/pi=(2k)/(a-b) $ che è impossibile per il teorema i Niven
svolgendo la seconda equazione ottengo
$ theta/pi=(2k-2alpha/pi)/(a+b) $ ; $ theta=(2kpi-2alpha)/(a+b) $
adesso svolgo
$ cos(btheta+alpha)=cos(ctheta+alpha) $
ed ottengo
$ theta/pi=(2h)/(b-c) $ (con $h in ZZ$) che è impossibile per il teorema i Niven oppure
$ theta=(2hpi-2alpha)/(b+c)$ (con $h in ZZ$)

Quindi scrivo
$ (2kpi-2alpha)/(a+b)= (2hpi-2alpha)/(b+c) $ svolgo e ricavo $ alpha$
$ alpha= (epsipi)/(a-c) $ con $epsilon in ZZ$

Quindi $alpha$ è una frazione di $pi$ e quindi l'uguaglianza
$ theta/pi=(2k-2alpha/pi)/(a+b) $ è impossibile perché implica
$ theta/pi in QQ $ che non è possibile per il teorema di Niven

[axpgn]

Così mi pare che funzioni (a mio parere ci sono un paio di segni sbagliati, inoltre riporta sempre la traccia completa) ma non mi pare che "da qui la conclusione è banale."

Cordialmente, Alex