veciorik ha scritto:.... Non dimostro che l'uguaglianza vale per un equilatero: è facile.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Prima ho verificato che $ \quad a^2+b^2+c^2 \ = \ 4\sqrt{3} \quad S \ $ in un equilatero $ \ (c=b=a=l) : \quad 3l^2 \ = \ 4\sqrt{3} \quad \sqrt{3}/4 l^2 \ $.
Poi ho mostrato, per sommi capi, che: tenendo fissa l'area $S$, scelta la base $a$ e determinata la relativa altezza in modo che l'area sia quella desiderata, il valore di $b^2+c^2$ e, quindi, anche di $a^2+b^2+c^2$, essendo $a$ fissato, è maggiore in uno scaleno che in un isoscele con le stesse misure di base, altezza, area.
Data la scelta arbitraria del lato base, il minimo si ha per l'equilatero, che è isoscele rispetto a tutte le tre "basi", mentre per gli altri triangoli vale la disuguaglianza $ \quad a^2+b^2+c^2 \ > \ 4\sqrt{3} \ S $
Forse dovrei dimostrare anche che, a pari area tra isoscele ed equilatero, $ \quad a^2+2b^2 \ > \ 3 l^2 \quad $
dove $ \quad a^2=k^2l^2 \quad $ e $ \quad b^2 = ((k l)/2)^2 + (\sqrt{3/4} l/k)^2 \quad $ per ogni $ \ k>0 \quad $?
Poi ho mostrato, per sommi capi, che: tenendo fissa l'area $S$, scelta la base $a$ e determinata la relativa altezza in modo che l'area sia quella desiderata, il valore di $b^2+c^2$ e, quindi, anche di $a^2+b^2+c^2$, essendo $a$ fissato, è maggiore in uno scaleno che in un isoscele con le stesse misure di base, altezza, area.
Data la scelta arbitraria del lato base, il minimo si ha per l'equilatero, che è isoscele rispetto a tutte le tre "basi", mentre per gli altri triangoli vale la disuguaglianza $ \quad a^2+b^2+c^2 \ > \ 4\sqrt{3} \ S $
Forse dovrei dimostrare anche che, a pari area tra isoscele ed equilatero, $ \quad a^2+2b^2 \ > \ 3 l^2 \quad $
dove $ \quad a^2=k^2l^2 \quad $ e $ \quad b^2 = ((k l)/2)^2 + (\sqrt{3/4} l/k)^2 \quad $ per ogni $ \ k>0 \quad $?
