Dischi sul cerchio

[axpgn]

Sia data una circonferenza $C$ e si fissi su di essa un punto $P$.

Qual è la forma della regione di piano ricoperta dai dischi circolari che hanno centro su $C$ e il cui bordo passa per $P$ ?

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Esempio di disco:

Cordialmente, Alex

[mgrau]

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Direi una cardioide

[axpgn]

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Risposta corretta ma occorre una dimostrazione

Cordialmente, Alex

[mgrau]

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Dato che la cardioide si ottiene facendo rotolare un cerchio su un altro cerchio uguale, allora, con riferimento alla figura,



abbiamo il cerchio con centro A fisso e quello con centro B che rotola. Il punto che traccia la cardioide è il punto F, inteso come punto del cerchio mobile.
Quando il punto di contatto si sposta in E, il punto F si è spostato in G, e si vede subito che EF = EG, quindi G appartiene alla circonferenza con centro in E e raggio EF
Non so però se questa è proprio una dimostrazione della tua tesi... non sono proprio sicuro che quel che si dimostra coincida con quello che chiedi

[axpgn]

Adesso che l'ho capita ( ), mi pare una gran bella dimostrazione; quella che conosco è molto più complicata

Cordialmente, Alex

[mgrau]

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Però in questo modo si è dimostrato che il punto G sta sul cerchio con centro in E e raggio EF. Ma come si fa a dire che, con un altro punto E', e un altro cerchio, questo non inglobi il punto G?
Magari la tua dimostrazione molto più complicata questo lo dimostra.

[axpgn]

La butto lì ...

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Tutti i dischi che hanno le caratteristiche richieste sono tali per cui il punto $F$ deve avere un suo omologo sul cerchio "rotolante" quindi non ci sono altri dischi più grandi o più piccoli con tali caratteristiche.
Secondariamente il punto $G$ omologo di $F$ "sta" sempre sulla (stessa) cardioide.
Certo, questo andrebbe "formalizzato" matematicamente ma come "concetto" mi pare che regga.
Vediamo se qualcun altro conferma o confuta ...

Cordialmente, Alex

P.S.: Spoiler, please

EDIT:

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Purtroppo è un ragionamento insufficiente perché comunque non esclude il fatto, come giustamente dici, che qualche altro punto del disco non "sbordi" oltre la cardioide

[mgrau]

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Infatti. Direi che i ragionamenti che si occupano dei punti non bastano, si dovrebbe ragionare sulla famiglia di cerchi e sul loro inviluppo, ma a me mancano gli strumenti. Non è difficile scrivere l'equazione della famiglia di cerchi interessati, ma poi...?

[mgrau]

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Una dimostrazione si trova qui. Un po' troppo difficile per me

[axpgn]

Non mi ci metto proprio a cercare una soluzione lì dentro
Tanto una ce l'ho
Prima o poi la posto.

Cordialmente, Alex