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Passo 1
si fa riferimento alla seguente immagine
dall'immagine si nota immediatamente che il segmento DE passa per il punto (evidenziato in rosso) F, bisogna dimostrarlo, cosa che non riesco a fare e per cui chiedo il vostro aiuto.
(assumerò per vero che DE passa per F nei passaggi successivi)
Passo 2
si fa riferimento alla seguente immagine
La retta verde passa per F e B (in centro della circonferenza blu).
Denotiamo con G il punto di intersezione di questa retta con la circonferenza blu.
L'obbiettivo è dimostrare che G non è mai contenuto in nessun disco (di quelli descritti nella traccia) a parte il il disco denotato dalla circonferenza blu (che chiameremo disco blu)
Divido il problema in 3 casi
Caso 1
Scelgo un disco di raggio maggiore di quello della circonferenza blu, allora si fa riferimento all'immagine precedente.
I due punti di intersezione tra le circonferenze che denotano i dischi sanciscono 2 zone: una comune ad entrambi i dischi (colorata in rosso) ed una i cui punti appartengono soltanto al disco blu (colorata di blu)
Siccome la retta verde ha già intersecati DE in F e l'angolo $ hat(BFC)>0 $ allora G non può fare parte della regione rossa.
Quindi, come volevasi dimostrare, G non appartiene a un disco diverso da quello blu che abbia raggio maggiore della circonferenza blu.
Caso 2
scelgo un di raggio uguale alla circonferenza blu.
siccome i due dischi hanno raggio uguale la distanza FG è uguale al diametro delle due circonferenze (perché B è il centro della circonferenza blu e la retta verde passa per B) e quindi notiamo che G corrisponde ad E e poggia su entrambe le circonferenze.
(Questo caso serve solo a far notare come, quando i raggi sono uguali E e G corrispondano e quindi rendere più evidente che per raggi più piccoli E sarà interno alla corda $ hat(CG) $ )
Caso 3
Scelgo un disco (che chiameremo disco rosso) di raggio minore della circonferenza blu, si fa riferimento all'immagine che segue.
Grazie al (lemma i) possiamo affermare che la lunghezza DC e CE sono direttamente proporzionali, quindi al decrescere del raggio della circonferenza rossa corrisponde la decrescenza della distanza CE e quindi della corda $ hat(CE) $.
Quindi $ hat(CE) $ è contenuta nella corda $ hat(CG) $ (perché, grazie al caso 2, abbiamo $ E-= G $ quando la circonferenza rossa e quella blu coincidono) e quindi, come volevasi dimostrare, G non può fare parte del disco rosso.
Passo 3
Affermo che siccome G appartiene al bordo del disco blu ma non appartiene a nessun altro disco allora G appartiene al bordo della regione di piano che cerchiamo.
Mi basta trovare una curva che descriva G al variare di B per descrivere il bordo della regione di piano cercata.
Passo 4
Analizzo il caso in cui la circonferenza $ tilde(C) $ (quella della traccia) ha raggio 1 e il punto P ha coordinate (0,1).
(il risultato di questo caso potrà essere esteso a tutti gli altri con un cambiamento di coordinate del tipo $ (x')^2+(y')^2=k(x^2+y^2) $ più eventuali rotazioni che non cambiano la natura del contorno)
Chiamo $ gamma $ la circonferenza associata ad un generico disco che poggia sulla circonferenza $ tilde(C) $.
innanzitutto scrivo l'equazione di $ tilde(C) $ in polari: $ (rho,theta)=(1,theta) $ con $ 0letheta<2pi $ ; $ tilde(C): (x,y)=(costheta,sintheta) $.
Chiamo C il centro di $ gamma $ e siccome esso alloggia sulla circonferenza $ tilde(C) $ ha coordinate
$ C=(cosvarphi ,sinvarphi) $ .
scrivo, quindi, l'equazione di $ gamma $ (come luogo di zeri)
$ gamma: (x-cos varphi)^2+(y-sinvarphi)^2=bar(CP)^2 = 2-2cos varphi $
Con riferimento alla seguente figura
chiamo B il punto di intersezione tra $ gamma $ e $ tilde(C) $ diverso da P e lo trovo svolgendo il sistema
$ { ( x=costheta ),( y=sintheta ),( (x-cosvarphi)^2 + (y-sinvarphi)^2=2-2cosvarphi ):} $ con $ 0letheta<2pi $ $ 0levarphi<2pi $
ottengo $ cos(theta-varphi)=cosvarphi $; $ theta=2varphi $ oppure $ theta=0 $
Quindi otteniamo $ B=(cos2varphi,sin2varphi) $.
Adesso non ci resta che trovare Q la cui equazione descriverà la nostra curva al variare di $ varphi $.
Notiamo che BQ è un diametro della circonferenza $ gamma $ quindi i due punti sono simmetrici rispetto al centro C, quindi ricaviamo in maniere immediata Q dalle coordinate di B:
$ Q=(2cosvarphi-cos2varphi,2sinvarphi-sin2varphi) $
riarrangiamo un po' ed otteniamo
$ Q:(x,y)=(1,0)+2(1-cosvarphi)(cosvarphi,sinvarphi) $ che è la traslazione di un cardioide.
In conclusione la regione di piano cercata è sempre un cardioide
si fa riferimento alla seguente immagine
dall'immagine si nota immediatamente che il segmento DE passa per il punto (evidenziato in rosso) F, bisogna dimostrarlo, cosa che non riesco a fare e per cui chiedo il vostro aiuto.
(assumerò per vero che DE passa per F nei passaggi successivi)
Passo 2
si fa riferimento alla seguente immagine
La retta verde passa per F e B (in centro della circonferenza blu).
Denotiamo con G il punto di intersezione di questa retta con la circonferenza blu.
L'obbiettivo è dimostrare che G non è mai contenuto in nessun disco (di quelli descritti nella traccia) a parte il il disco denotato dalla circonferenza blu (che chiameremo disco blu)
Divido il problema in 3 casi
Caso 1
Scelgo un disco di raggio maggiore di quello della circonferenza blu, allora si fa riferimento all'immagine precedente.
I due punti di intersezione tra le circonferenze che denotano i dischi sanciscono 2 zone: una comune ad entrambi i dischi (colorata in rosso) ed una i cui punti appartengono soltanto al disco blu (colorata di blu)
Siccome la retta verde ha già intersecati DE in F e l'angolo $ hat(BFC)>0 $ allora G non può fare parte della regione rossa.
Quindi, come volevasi dimostrare, G non appartiene a un disco diverso da quello blu che abbia raggio maggiore della circonferenza blu.
Caso 2
scelgo un di raggio uguale alla circonferenza blu.
siccome i due dischi hanno raggio uguale la distanza FG è uguale al diametro delle due circonferenze (perché B è il centro della circonferenza blu e la retta verde passa per B) e quindi notiamo che G corrisponde ad E e poggia su entrambe le circonferenze.
(Questo caso serve solo a far notare come, quando i raggi sono uguali E e G corrispondano e quindi rendere più evidente che per raggi più piccoli E sarà interno alla corda $ hat(CG) $ )
Caso 3
Scelgo un disco (che chiameremo disco rosso) di raggio minore della circonferenza blu, si fa riferimento all'immagine che segue.
(Lemma i) Grazie alla dimostrazione del passo 1 (per il quale, come detto, avrei bisogno di una manina) possiamo concludere che tutti i triangoli $ hat(DCE) $ sono simili tra loro al variare della posizione di D lungo la circonferenza. (Questo perché passando per F essi hanno l'angolo $ hat(CDE) $ (che è un angolo alla circonferenza) (alfa in figura) costante e sono isosceli perché i lati DE e DC sono raggi di una circonferenza)
metto qui un'immagine che potrebbe chiarire l'argomentazione:
Grazie al (lemma i) possiamo affermare che la lunghezza DC e CE sono direttamente proporzionali, quindi al decrescere del raggio della circonferenza rossa corrisponde la decrescenza della distanza CE e quindi della corda $ hat(CE) $.
Quindi $ hat(CE) $ è contenuta nella corda $ hat(CG) $ (perché, grazie al caso 2, abbiamo $ E-= G $ quando la circonferenza rossa e quella blu coincidono) e quindi, come volevasi dimostrare, G non può fare parte del disco rosso.
Passo 3
Affermo che siccome G appartiene al bordo del disco blu ma non appartiene a nessun altro disco allora G appartiene al bordo della regione di piano che cerchiamo.
Mi basta trovare una curva che descriva G al variare di B per descrivere il bordo della regione di piano cercata.
Passo 4
Analizzo il caso in cui la circonferenza $ tilde(C) $ (quella della traccia) ha raggio 1 e il punto P ha coordinate (0,1).
(il risultato di questo caso potrà essere esteso a tutti gli altri con un cambiamento di coordinate del tipo $ (x')^2+(y')^2=k(x^2+y^2) $ più eventuali rotazioni che non cambiano la natura del contorno)
Chiamo $ gamma $ la circonferenza associata ad un generico disco che poggia sulla circonferenza $ tilde(C) $.
innanzitutto scrivo l'equazione di $ tilde(C) $ in polari: $ (rho,theta)=(1,theta) $ con $ 0letheta<2pi $ ; $ tilde(C): (x,y)=(costheta,sintheta) $.
Chiamo C il centro di $ gamma $ e siccome esso alloggia sulla circonferenza $ tilde(C) $ ha coordinate
$ C=(cosvarphi ,sinvarphi) $ .
scrivo, quindi, l'equazione di $ gamma $ (come luogo di zeri)
$ gamma: (x-cos varphi)^2+(y-sinvarphi)^2=bar(CP)^2 = 2-2cos varphi $
Con riferimento alla seguente figura
chiamo B il punto di intersezione tra $ gamma $ e $ tilde(C) $ diverso da P e lo trovo svolgendo il sistema
$ { ( x=costheta ),( y=sintheta ),( (x-cosvarphi)^2 + (y-sinvarphi)^2=2-2cosvarphi ):} $ con $ 0letheta<2pi $ $ 0levarphi<2pi $
ottengo $ cos(theta-varphi)=cosvarphi $; $ theta=2varphi $ oppure $ theta=0 $
Quindi otteniamo $ B=(cos2varphi,sin2varphi) $.
Adesso non ci resta che trovare Q la cui equazione descriverà la nostra curva al variare di $ varphi $.
Notiamo che BQ è un diametro della circonferenza $ gamma $ quindi i due punti sono simmetrici rispetto al centro C, quindi ricaviamo in maniere immediata Q dalle coordinate di B:
$ Q=(2cosvarphi-cos2varphi,2sinvarphi-sin2varphi) $
riarrangiamo un po' ed otteniamo
$ Q:(x,y)=(1,0)+2(1-cosvarphi)(cosvarphi,sinvarphi) $ che è la traslazione di un cardioide.
In conclusione la regione di piano cercata è sempre un cardioide
La dimostrazione è lunga, ma mi piace molto, quindi se avete tempo provate a dimostrare il passo 1 che non mi riesce.