Hai ragione, ho sbagliato, però mi è venuta in mente un'altra idea, cerco di buttarla giù in maniera corretta, però è un po' difficile da esporre:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Idea generale
Noto che se $ f(k)>k+1 $ mi troverò di fronte ad una funzione con dei gradini disgiunti che avranno larghezza sempre maggiore, tuttavia per una delle proprietà delle funzioni in esame, se ci sono $ n $ elementi consecutivi uguali (del tipo che ci troveremo di fronte) allora ci saranno $ n $ elementi "iniziali" uguali a 1 cioè $ f(epsilon)=1AAepsilonin{1,2,3,...,n} $ da ciò si avrà l'assurdo.
Ipotesi
$ (i) $ $ f(m+n)ge f(m)+f(f(n))-1 $
Corollari
siccome $ f(x) ge 1 AA x in NN$ da $ (i) $ ricavo in maniera immediata i seguenti corollari:
$ (a) $ $ f(k+1)ge f(k) AA k in NN$
$ (b) $ $ f(k+1)gef(1) AA k in NN $
$ (c) $ $ f(k+1)gef(f(k)) AA k in NN $
$ (d) $ $ f(k+1)gef(f(1)) AA k in NN $
Lemma 1
Affermo che se $ f(epsilon)=f(x+1) AAepsilon in {x+1,x+2,...,f(x)} $ con $ f(x)-x=ninNN $ allora $ f(xi)=1 AAxi in {1,2,...,n} $
dimostrazione:
per $ (i) $ scrivo $ f(x+xi)gef(xi)+f(f(x))-1 AAxi in {1,2,...,n} $ ma quindi $ x+xi in {x+1,x+2,...,f(x)} $ e quindi
$ 1gef(xi)$ ma $ f(xi) in NNrArr f(xi)=1 $
Punto 1
dimostro che $ f(k)le k+1 $:
supponiamo per assurdo che $ f(k)> k+1 $ allora
per $ (a) $ $ f $ è debolmente crescente
per $ (c) $ $ f(k+1)gef(f(k)) $
e per ipotesi $ f(k)>k+1 $
allora
\( f(f(k))\geq f(k+1)\geq f(f(k)) \) e quindi $ f(k+1)=f(f(k)) $
e per $ (a) $, $ f(epsilon_1)=f(k+1) AA epsilon_1 in {k+1,k+2,...,f(k)} $
(nota: la cardinalità minima di quest'insieme è 2)
adesso per $ (i) $ scrivo
$ f(2k)gef(k)+f(f(k))-1>k+1+k+2-1=2k+2 $ , $ f(2k)>2k+2 $
per dimostrazione precedente avremo
$ f(epsilon_2)=f(2k+1)AAepsilon_2in{2k+1,...,f(2k)} $
(nota: la cardinalità minima di questo insieme è 3)
procedendo in questo modo all'infinito avremo cardinalità minima sempre maggiore, è possibile dimostrarlo per induzione in maniera simile a quanto fatto per i casi precedenti (non lo farò per risparmiare spazio ma si tratta di un banale esercizio di induzione)
ma allora avremo che esiste almeno un insieme di questo tipo con cardinalità maggiore di $ k $ e quindi, per il lemma 1, avremo $ f(k)=1 $, che è assurdo.
Punto 2
Affermo che esiste sempre almeno una funzione che rispetta l'ipotesi tale che
$ f(k)=n $ per $nin{1,2,...,k+1} $, per esempio si può costruire in questo modo:
$ f(x)={ ( 1 if x<k ),( n if x=k),( x if x>k):} $, per $ n le k $
$ f(x)={ ( 1 if x<k ),( 2^alphak+1 if x=2^alphak and alphain NN+{0} ),( x if x>k and xne2^alphak and alpha in NN+{0}):} $, per $ n =k +1 $
Punto 3
Calcolo \[ \sum_{n \in V(k)} n \]
Per i punti 1 e 2 posso scrivere:
$ sum_ {n \in V(k)}n=sum_(n=1)^(k+1)n=((k+1)(k+2))/2 $
CVD
sperando di non aver fatto errori stupidi questa volta.