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Una funzione quadratica (normalizzata, senza perdere di generalita') $$f(x)= y=x^2+bx+c$$
la cui derivata e' $$f'(x)= y= 2x + b$$
sottraiamo m.a.m. le due equazioni $$x^2 + (b-2)x + c - b = 0$$
otteniamo un'altra eq. quadratica. Se il punto di intersezione deve essere unico, il discriminante deve essere nullo.$$\Delta = (b-2)^2 - 4(c-b) = 0$$
$$\Delta = b^2 - 4c + 4 = 0$$
Da cui $$c = 1 + \frac{b^2}{4}$$
e infine si ottiene $$f(x)= x^2+bx+1 + \frac{b^2}{4}$$

Non ho capito, in che senso e' un caso particolare ?
Manca il coefficiente di \(x^2\), ma e' facile aggiungerlo.

$$f(x)= ax^2+abx+a + \frac{ab^2}{4}$$

La mia versione è $f(x)=ax^2+bx+a+b^2/(4a)$

Se $b=0$ abbiamo $f(x)=ax^2+a$


La descrizione data dal prof che l'ha ideata è: le parti immaginarie delle sue radici sono $1$ e $-1$

Preferisco inoltre scrivere la funzione nella forma
$f(x)=a(x-u)^2+b(x-u)+c$
da cui ricavo $f'(x)=2a(x-u)+b$ e $f''(x)=2a$.
Poiché nel punto di tangenza si ha la stessa ordinata e la stessa pendenza, deve essere
${(f(u)=f'(u)),(f'(u)=f''(u)):}->{(c=b),(b=2a):}->c=b=2a$
Ho quindi il risultato
$f(x)=a[(x-u)^2+2(x-u)+2]$