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Se non ho capito male, si tratta di risolvere il seguente sistema di equazioni: \[
\begin{cases}
x_1 + x_2\,x_3\,x_4 = 2 \\
x_2 + x_1\,x_3\,x_4 = 2 \\
x_3 + x_1\,x_2\,x_4 = 2 \\
x_4 + x_1\,x_2\,x_3 = 2 \\
\end{cases}.
\] Pertanto, dalla quarta equazione: \[
x_4 + x_1\,x_2\,x_3 = 2
\quad \Leftrightarrow \quad
x_4 = 2 - x_1\,x_2\,x_3
\] che sostituita nella terza equazione: \[
x_3 + x_1\,x_2\left(2 - x_1\,x_2\,x_3\right) = 2
\quad \Leftrightarrow \quad
x_2 = \frac{1}{x_1} \; \vee \; x_3 = \frac{2}{x_1\,x_2+1}.
\] Quindi, sostituendo \(x_4 = 2-x_1\,x_2\,x_3\) e poi \(x_2 = \frac{1}{x_1}\) nelle prime due equazioni, si ha: \[
\begin{cases}
\frac{\left(x_1-x_3\right)\left(x_1+x_3-2\right)}{x_1} = 0 \\
\frac{\left(x_1x_3-1\right)\left(2x_1-x_1x_3-1\right)}{x_1} = 0 \\
\end{cases}
\quad \Leftrightarrow \quad
(x_1,x_3) = (-1,-1)
\; \vee \;
(x_1,x_3) = (-1,3)
\; \vee \;
(x_1,x_3) = (1,1)
\] da cui: \[
\small
(x_1,x_2,x_3,x_4)=(-1,-1,-1,3)
\; \vee \;
(x_1,x_2,x_3,x_4)=(-1,-1,3,-1)
\; \vee \;
(x_1,x_2,x_3,x_4)=(1,1,1,1).
\] Analogamente, sostituendo \(x_4 = 2-x_1\,x_2\,x_3\) e poi \(x_3 = \frac{2}{x_1x_2+1}\) nelle prime due equazioni, si ha: \[
\begin{cases}
\frac{\left(x_1x_2-2x_2+1\right)\left(x_1^2x_2+x_1-2\right)}{\left(x_1x_2+1\right)^2} = 0 \\
\frac{\left(x_1x_2-2x_1+1\right)\left(x_1x_2^2+x_2-2\right)}{\left(x_1x_2+1\right)^2} = 0 \\
\end{cases}
\quad \Leftrightarrow \quad
(x_1,x_2) = (-1,3)
\; \vee \;
(x_1,x_2) = (1,1)
\; \vee \;
(x_1,x_2) = (3,-1)
\] da cui: \[
\small
(x_1,x_2,x_3,x_4)=(-1,3,-1,-1)
\; \vee \;
(x_1,x_2,x_3,x_4)=(1,1,1,1)
\; \vee \;
(x_1,x_2,x_3,x_4)=(3,-1,-1,-1).
\] In conclusione, il sistema in esame presenta cinque soluzioni reali: \[
\boxed{(-1,-1,-1,3), \; \;
(-1,-1,3,-1), \; \;
(-1,3,-1,-1), \; \;
(1,1,1,1), \; \;
(3,-1,-1,-1) \;}
\] ossia vi sono due insiemi possibili, uno composto da un \(3\) e tre \(-1\) e uno composto da quattro \(1\).