[RISOLTO] Classificazione delle singolarità

[phigreco]

Mi viene chiesto di classificare le singolarità della funzione

$f(z)=(coszcoshz)/(z^3(z^2-pi^2/4)^2(z^2+pi^2/4))$

• Le singolarità che trovo sono: $z_0=0$, $z_(1,2)=+-pi/2$, $z_(3,4)=+-ipi/2$
• $z_0$ è un polo di grado tre perché facendo $(z-z_0)^3f(z)$ la singolarità va via

Senza calcolare la serie di Laurent non so come classificare le altre singolarità e il problema è anche che non so come trovare la serie di Laurent di quella funzione...Qualche spunto? C'è un modo per valutare tutto senza ricavarsi la serie?

[Luca.Lussardi]

Sono comunque poli, e' esattamente lo stesso ragionamento che hai fatto per dire che $0$ e' un polo di ordine 3...

[phigreco]

La soluzione del docente stabilisce che:

• $ z_(1,2)=+-pi/2 $ sono poli semplici
• $ z_(3,4)=+-ipi/2 $ sono singolarità eliminabili

Ma una singolarità si dice eliminabile se la parte principale dello sviluppo di $f(z)$ centrato nella singolarità è nullo e quindi lo sviluppo di Laurent coincide con lo sviluppo di Taylor...Quindi per capire se $ z_(3,4)=+-ipi/2 $ sono eliminabili mi occorre lo sviluppo? Torniamo al problema dell'OP...

Per quanto riguarda i poli semplici della soluzione, come faccio a vederlo?
Scomponendo il denominatore ottengo:

$ z^3[(z-pi/2)(z+pi/2)]^2(z+ipi/2)(z-ipi/2) $

Facendo: $ (z-z_(1,2) ) f(z) $ non riesco a vedere che le singolarità scompaiono...

[Bremen000]

Un buon modo per classificare le singolarità è calcolare il limite della funzione nei punti considerati. Se il limite esiste finito allora è una singolarità eliminabile, se è infinito è un polo altrimenti è una singolarità essenziale...

[Luca.Lussardi]

si, per le singolarita' eliminabili osserva anche se per caso si annulla il numeratore...

[phigreco]

si, per le singolarita' eliminabili osserva anche se per caso si annulla il numeratore...

Il numeratore si annulla in $+-pi/2$ che però vengono classificate come poli semplici

Un buon modo per classificare le singolarità è calcolare il limite della funzione nei punti considerati. Se il limite esiste finito allora è una singolarità eliminabile, se è infinito è un polo altrimenti è una singolarità essenziale...

Facendo il semplice limite della funzione nei punti considerati, essendo quelle delle singolarità, il denominatore non si annulla per ognuna di esse? Di conseguenza tutti i limiti verrebbero $oo$

[gugo82]

Uno sguardo qui potrebbe tornare utile.

[phigreco]

Ti ringranzio ma ci sono dei concetti che nella parte di analisi complessa sulle serie di Laurent non trovo...

[gugo82]

Tipo?

[phigreco]

Tipo questa:

Siano $f (z)$ e $g(z)$ e olomorfe non identicamente nulle in $\Omega$, $z_0\in \Omega$ tale che $f(z_0)=0=g(z_0)$ e siano $n$ ed $m$, rispettivamente, gli ordini di $z_0$ come zero di $f$ e $g$.
La funzione $(f(z))/(g(z))$ ha in $z_0$:

• una singolarità eliminabile che è uno zero d'ordine $n-m$ se e solo se $n>m$;
  
  
• una singolarità eliminabile che non è uno zero se e solo se $n=m$;
  
  
• un polo d'ordine $m-n$ se e solo se $m>n$.

In particolare, la funzione $1/(g(z))$ (reciproca di $g(z)$) ha in $z_0$ un polo d'ordine $m$ se e solo se $g(z)$ ha in $z_0$ uno zero d'ordine $m$.

È un qualcosa che non saprei applicare al mio caso...inoltre non capisco cosa c'entrino gli zeri dei quali non si fa per niente cenno nella parte sulle serie di Laurent affrontata nel mio corso di studi.

Io ho:

$ (coszcoshz)/(z^3(z^2-pi^2/4)^2(z^2+pi^2/4)) $

• Nella mia funzione: $f(z)=coszcoshz$, $g(z)=z^3(z^2-pi^2/4)^2(z^2+pi^2/4)$

poi boh, come continuo?

Inoltre se avessi singolarità essenziali come me ne accorgerei secondo la tua definizione?