funzione $max$

[fede.unive]

Salve a tutti,

ho trovato il seguente risultato: data

$J_n(t)=(1/t\int_0^t f(s)^n ds)^{1/n}$

con $f(s)>0, \forall s$, segue

$\lim_{n->oo} J_n(t)=\max_{0\leq s \leq t} f(s)$

e

${d J_n(t)}/{dt} = {J_n(t)^{1-n} }/{nt}(f(t)^n-J_n(t)^n)$

Avete idea di come si possano dimostrare queste uguaglianze? Per il limite, ho provato ad usare de l'Hopital ma non credo sia la strada giusta...

Grazie

[gugo82]

Supponendo che $f$ sia continua e non negativa in $[0,t]$, hai ovviamente \(J_n(t)\leq \max_{[0,t]} f\)... Quindi è probabile che si possa trovare una minorazione adeguata all'applicazione del Teorema dei Carabinieri.
Ci si deve pensare un po'.

La faccenda della derivazione è più semplice. Infatti dal teorema di derivazione della funzione composta e dal teorema fondamentale del Calcolo Integrale discende che:
\[
\begin{split}
J_n^\prime (t) &= \frac{1}{n}\ \left(\frac{1}{t} \int_0^t f^n(s)\ \text{d} s\right)^{\frac{1}{n} -1} \cdot \left( -\frac{1}{t^2}\ \int_0^t f^n(s)\ \text{d} s + \frac{1}{t}\ f^n(t)\right)\\
&= \frac{1}{n}\ J_n^{1-n}(t)\cdot \left( - \frac{1}{t}\ J_n^n(t) + \frac{1}{t}\ f^n(t)\right)\\
&= \frac{1}{nt}\ J_n^{1-n}(t)\cdot \left( f^n(t) - J_n^n(t)\right)\; .
\end{split}
\]

[fede.unive]

Grazie mille! La derivata non mi veniva perché (idiotamente per errore) la stavo calcolando rispetto a n

[gugo82]

Il primo fatto è una conseguenza di un fatto più generale, ossia del fatto che se $\mu$ è una misura su uno spazio $\Omega$ e se $f\in L^p(\mu)$ per ogni $p$ "sufficientemente grande" ed $f\in L^oo(\mu)$ (qualche ipotesi è forse di troppo...) allora:
\[
\lim_{p\to \infty} \| f\|_{p,\Omega} = \| f\|_{\infty, \Omega}\; ,
\]
cioè:
\[
\lim_{p\to \infty} \left( \int_\Omega |f|^p\ \text{d} \mu \right)^{1/p} = \operatorname{esssup}_{\Omega} |f|\; .
\]
In particolare, nel tuo caso, stai considerando una funzione $f\geq 0$ che è in $L^n(\mu)$, sullo spazio $\Omega =[0,t]$ ($t>0$ è fissato) con misura $\mu(E) = \frac{1}{t} "m"(E)$ (in cui $"m"(*)$ è l'usuale misura di Lebesgue, di modo che nell'integrale che definisce la $p$-norma hai \(\text{d}\mu = \frac{1}{t}\ \text{d} \text{m} = \frac{1}{t}\ \text{d} s\)), per ogni $n\in \NN$ ed in $L^oo(\mu)$ (ad esempio, una funzione continua va benissimo).

[fede.unive]

Grande gugo82!