Trasformata di Fourier esame Polimi (impossibile!?)

[AlfyNir]

Buon giorno a tutti,

ieri all'esame di Metodi Analitici e Numerici è stato proposto un esercizio in cui si chiedeva di trasformare la seguente funzione.

$ f(x)=\frac{96\sqrt{2}*sin\frac{x}{2}}{(8x^2+9)^2} $

Nessuno che io conosca è riuscito a risolverla. Se ci fosse stata una $x$ al numeratore sarebbe stato sufficiente scomporre il seno in esponenziali, integrare la funzione fratta e poi applicare la traslazione e la trasformata della derivata.

In tanti hanno chiesto al prof se mancasse una $x$ a causa di un refuso, ma la risposta è stata negativa.

Qualcuno di voi ha mai visto una cosa del genere? Sa per caso come risolverla?

Grazie mille in anticipo

[gugo82]

Tieni presente che $sin (x/2)$ è il coefficiente dell'immaginario di $e^(ix/2)$.

[AlfyNir]

Questa cosa è stata fatta: permette la traslazione della funzione fratta, ma rimane il problema della trasformazione di quest'ultima.

[gugo82]

Che normalizzazione usate per la trasformata?

Ad ogni modo, mi pare che tutto si riconduca ad un decadimento esponenziale bilatero.

[AlfyNir]

$F(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i\xi x}f(x)dx$

[dissonance]

L'idea di integrare funziona. Infatti
\[
\int_0^x \frac{1}{(1+y^2)^2}\, dy = \frac{1}{2}\left( \frac{x}{1+x^2}+\arctan(x)\right).\]
Il primo addendo si può trasformare usando il fatto che la moltiplicazione per \(x\) diventa una derivata (a meno di fattori \(i\)) e la trasformata di \(\frac{1}{1+x^2}\) è un "decadimento esponenziale bilatero" (sto parafrasando Gugo, spero di non usare impropriamente il linguaggio ingegneristico). Per l'arcotangente devi integrare di nuovo.

[AlfyNir]

Ok per la prima parte. Ma scusami, proprio non riesco a capire come trattare l'arcotangente. Integrando non viene fuori ancora un arcotangente?

[dissonance]

Mannaggia scusami mi sono sbagliato. Devi derivare, non integrare.