Argomento meglio quello che intendevo dire nella mia risposta precedente. In effetti, mi serve anche supporre che i mollificatori $\varphi_{\epsilon}$ abbiano supporto compatto.
Supponiamo che per ogni $\epsilon>0$ la funzione $\varphi_{\epsilon}:\mathbb R\to\mathbb R$ sia pari, non negativa e a supporto compatto. Dato un punto $x\in\mathbb R$ e una funzione $u:\mathbb R\to(-\infty,+\infty]$ convessa, esiste almeno un $\lambda\in\mathbb R$ tale che $u(x-t) \geq u(x) - \lambda t$ per ogni $t\in\mathbb R$. Perciò, per ogni $\epsilon>0$ vale la disuguaglianza
\[ (u\ast\varphi_{\varepsilon})(x) = \int_{\mathbb R}\varphi_{\varepsilon}(t)u(x-t)dy \geq \int_{\mathbb R}\varphi_{\varepsilon}(t)[u(x) - \lambda t]dt = u(x) - \lambda\int_{\mathbb R}t\varphi_{\varepsilon}(t)dt = u(x). \]
Quindi, se $u_i := (u\ast\varphi_{1/i})$ per ogni $i\geq 1$, vale necessariamente
\[ y_i := \inf_{\mathbb R}u_i = \inf\{u_i(x):x\in\mathbb R\} \geq \inf\{u(x):x\in\mathbb R\} = \inf_{\mathbb R} u =: y \]
per ogni $i\geq 1$. D'altra parte, se $y>{-\infty}$, dato $\epsilon_0>0$ esiste almeno un punto $x_0\in\mathbb R$ tale che $u(x_0) < y+\epsilon_0$ e per la convergenza puntuale delle $u_i$ abbiamo
\[ y \leq \liminf_{i\to+\infty} y_i \leq \limsup_{i\to+\infty} y_i \leq \limsup_{i\to+\infty} u_i(x_0) = \lim_{i\to+\infty} u_i(x_0) = u(x_0) < y+\epsilon_0 \]
e visto che $\epsilon_0>0$ è arbitrario segue che $\{y_i\}_i$ ha limite e il limite è $y$. Lo stesso discorso si fa per $y=-\infty$ con $-M$ al posto di $y+\epsilon_0$ per $M>0$ grande a piacere.
Ci sarebbe ancora da mostrare che se $u$ ammette minimo, allora anche le $u_i$ ammettono minimo per ogni $i\geq 1$. Per questo avrei bisogno di supporre che i supporti delle $\varphi_{\epsilon}$ tendessero a $\{0\}$ per $\epsilon\to0^+$, cioè che esista \[ \delta:\mathbb R\to\mathbb(0,+\infty) \] tale che il supporto di $\varphi_{\epsilon}$ sia contenuto in $[-\delta(\epsilon),+\delta(\epsilon)]$ per ogni $\epsilon>0$ e che $\lim_{\epsilon\to0^+}\delta(\epsilon) = 0$.
Se $y$ è assunto su $\mathbb R$, allora scegliamo un punto $x_0\in\mathbb R$ tale che $u(x_0) = y$. Nel caso in cui $u$ sia identicamente uguale a $y$ sull'intervallo $I=(-\infty,x_0]$ basta prendere un altro punto $x_1$ interno a $I$ e per $i$ abbastanza grande il supporto della funzione $t\mapsto\varphi_{1/i}(x_1-t)$ sarà tutto contenuto in $I$, per cui si avrà
\[ y \leq y_i \leq u_i(x_1) = \int_{\mathbb R} u(t)\varphi_{1/i}(x_1-t)dt = \int_{\mathbb R}y\varphi_{1/i}(x_1-t)dt = y \]
e quindi necessariamente $y_i=u_i(x_1)$, cioè tutte le $u_i$ assumono il minimo in tutti i punti di $(-\infty,x_0)$. La stessa cosa vale se $u$ è identicamente uguale a $y$ sull'intervallo $[x_0,+\infty)$. Se invece $u^{-1}(y)\subseteq\mathbb R$ è compatto, allora per convessità abbiamo $u(x)\to+\infty$ per $x\to\pm\infty$, quindi $u_i(x)\to+\infty$ per $x\to\pm\infty$ per ogni $i\geq 1$ e perciò ogni $u_i$ deve assumere il minimo in qualche punto di $\mathbb R$.
Togliendo le varie ipotesi su $\varphi_{\epsilon}$ non saprei dire se queste cose restano ancora vere, anche perché per funzioni $u$ che crescono troppo velocemente potrebbe anche succedere che una $\varphi_{\epsilon}$ con supporto non compatto non sia a decrescenza abbastanza rapida per poter definire $u\ast\varphi_{\epsilon}$