In questo caso la successione dei minimi converge al minimo?

Messaggioda glooo » 25/09/2017, 12:02

Sia $u:\mathbb{R}\rightarrow(-\infty,+\infty]$ una funzione convessa e supponiamo che $u$ ammetta un punto di minimo.
Definisco la regolarizzata di $u$ nel modo seguente:

$$(\varphi_\epsilon*u)(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\varphi_\epsilon(y)u(x-y)dy, $$
dove $\varphi_{\epsilon}$ è un mollificatore standard.
Introduciamo la notazione:
$$\tilde{u}_i=\varphi_{1/i}*u,\quad\forall i\in\mathbb{N}. $$

So che $\tilde{u}_i$ è convessa, che la successione delle regolarizzate converge puntualmente a $u$ in $\mathbb{R}$ e uniformemente sui compatti di $\mathbb{R}$.


Se denoto con $y_i:=\min_{\mathbb{R}}u_i$, è vero che la successione degli $y_i$ converge a $y=\min u$?

Io penso di sì, perché vale il seguente fatto: $\tilde{u}'_i$ converge puntualmente quasi ovunque a $u'$ visto che $$ u'*\varphi_{1/i}=u*\varphi'_{1/i}=(u*\varphi_{1/i})'.$$

Il mio ragionamento è corretto? O dovrei usare la convergenza uniforme sui compatti per provarlo?

Grazie per l'aiuto!
glooo
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Re: In questo caso la successione dei minimi converge al minimo?

Messaggioda coffee » 25/09/2017, 22:54

Non ho capito come vorresti usare la convergenza quasi ovunque delle derivate $u_i'$ a $u'$ per mostrare la tesi, puoi dare qualche dettaglio in più?
Comunque anch'io penso che la tesi sia vera, almeno nel caso in cui i mollificatori $\varphi_{\varepsilon}$ sono funzioni pari e non negative. In questo caso la si dovrebbe poter dimostrare come conseguenza della convergenza localmente uniforme di $\{u_i\}_i$ a $u$ e del fatto che $u_i\geq u$ su $\mathbb R$ per ogni $i$.
coffee
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Re: In questo caso la successione dei minimi converge al minimo?

Messaggioda dissonance » 26/09/2017, 11:48

Il problema è che se stai regolarizzando vuol dire che \(u\) potrebbe non essere differenziabile (altrimenti che regolarizzi a fare?).
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Re: In questo caso la successione dei minimi converge al minimo?

Messaggioda dissonance » 27/09/2017, 15:30

Propongo un esempio che mostra come molte cose possano andare storte. Sia \(u \equiv 0\) e
\[u_i(x)=\frac{(x-\sqrt i)^2}{i}-1, \quad i\in \mathbb N.\]
Si ha che \(u\) e \(u_i\) sono funzioni convesse e \(C^\infty\), \(u_i(x)\to u(x)\) uniformemente sui compatti di \(\mathbb R\), ma
\[
-1=\min u_i \nrightarrow \min u =0.\]

---

Questo esempio non può saltare fuori da un processo di regolarizzazione, perché \(\phi\ast u=0\) per ogni \(\phi\). Tuttavia, la dimostrazione dell'OP usa solo le proprietà che ho elencato sopra e quindi non può essere corretta.
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Re: In questo caso la successione dei minimi converge al minimo?

Messaggioda coffee » 30/09/2017, 15:45

Argomento meglio quello che intendevo dire nella mia risposta precedente. In effetti, mi serve anche supporre che i mollificatori $\varphi_{\epsilon}$ abbiano supporto compatto.

Supponiamo che per ogni $\epsilon>0$ la funzione $\varphi_{\epsilon}:\mathbb R\to\mathbb R$ sia pari, non negativa e a supporto compatto. Dato un punto $x\in\mathbb R$ e una funzione $u:\mathbb R\to(-\infty,+\infty]$ convessa, esiste almeno un $\lambda\in\mathbb R$ tale che $u(x-t) \geq u(x) - \lambda t$ per ogni $t\in\mathbb R$. Perciò, per ogni $\epsilon>0$ vale la disuguaglianza
\[ (u\ast\varphi_{\varepsilon})(x) = \int_{\mathbb R}\varphi_{\varepsilon}(t)u(x-t)dy \geq \int_{\mathbb R}\varphi_{\varepsilon}(t)[u(x) - \lambda t]dt = u(x) - \lambda\int_{\mathbb R}t\varphi_{\varepsilon}(t)dt = u(x). \]
Quindi, se $u_i := (u\ast\varphi_{1/i})$ per ogni $i\geq 1$, vale necessariamente
\[ y_i := \inf_{\mathbb R}u_i = \inf\{u_i(x):x\in\mathbb R\} \geq \inf\{u(x):x\in\mathbb R\} = \inf_{\mathbb R} u =: y \]
per ogni $i\geq 1$. D'altra parte, se $y>{-\infty}$, dato $\epsilon_0>0$ esiste almeno un punto $x_0\in\mathbb R$ tale che $u(x_0) < y+\epsilon_0$ e per la convergenza puntuale delle $u_i$ abbiamo
\[ y \leq \liminf_{i\to+\infty} y_i \leq \limsup_{i\to+\infty} y_i \leq \limsup_{i\to+\infty} u_i(x_0) = \lim_{i\to+\infty} u_i(x_0) = u(x_0) < y+\epsilon_0 \]
e visto che $\epsilon_0>0$ è arbitrario segue che $\{y_i\}_i$ ha limite e il limite è $y$. Lo stesso discorso si fa per $y=-\infty$ con $-M$ al posto di $y+\epsilon_0$ per $M>0$ grande a piacere.

Ci sarebbe ancora da mostrare che se $u$ ammette minimo, allora anche le $u_i$ ammettono minimo per ogni $i\geq 1$. Per questo avrei bisogno di supporre che i supporti delle $\varphi_{\epsilon}$ tendessero a $\{0\}$ per $\epsilon\to0^+$, cioè che esista \[ \delta:\mathbb R\to\mathbb(0,+\infty) \] tale che il supporto di $\varphi_{\epsilon}$ sia contenuto in $[-\delta(\epsilon),+\delta(\epsilon)]$ per ogni $\epsilon>0$ e che $\lim_{\epsilon\to0^+}\delta(\epsilon) = 0$.
Se $y$ è assunto su $\mathbb R$, allora scegliamo un punto $x_0\in\mathbb R$ tale che $u(x_0) = y$. Nel caso in cui $u$ sia identicamente uguale a $y$ sull'intervallo $I=(-\infty,x_0]$ basta prendere un altro punto $x_1$ interno a $I$ e per $i$ abbastanza grande il supporto della funzione $t\mapsto\varphi_{1/i}(x_1-t)$ sarà tutto contenuto in $I$, per cui si avrà
\[ y \leq y_i \leq u_i(x_1) = \int_{\mathbb R} u(t)\varphi_{1/i}(x_1-t)dt = \int_{\mathbb R}y\varphi_{1/i}(x_1-t)dt = y \]
e quindi necessariamente $y_i=u_i(x_1)$, cioè tutte le $u_i$ assumono il minimo in tutti i punti di $(-\infty,x_0)$. La stessa cosa vale se $u$ è identicamente uguale a $y$ sull'intervallo $[x_0,+\infty)$. Se invece $u^{-1}(y)\subseteq\mathbb R$ è compatto, allora per convessità abbiamo $u(x)\to+\infty$ per $x\to\pm\infty$, quindi $u_i(x)\to+\infty$ per $x\to\pm\infty$ per ogni $i\geq 1$ e perciò ogni $u_i$ deve assumere il minimo in qualche punto di $\mathbb R$.

Togliendo le varie ipotesi su $\varphi_{\epsilon}$ non saprei dire se queste cose restano ancora vere, anche perché per funzioni $u$ che crescono troppo velocemente potrebbe anche succedere che una $\varphi_{\epsilon}$ con supporto non compatto non sia a decrescenza abbastanza rapida per poter definire $u\ast\varphi_{\epsilon}$ :-k
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Re: In questo caso la successione dei minimi converge al minimo?

Messaggioda glooo » 02/10/2017, 11:46

Ciao! Grazie a tutti per le risposte!

Avevo pubblicato questa domanda anche su mathstackexchange...il link è questo:

https://math.stackexchange.com/question ... tions-conv
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